Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
r
α α = 2l + 1
Z(ρ) = L
(2l+1)
n−l−1
(ρ) .
R(ρ) = const · ρ
l
e
−
ρ
2
L
(2l+1)
n−l−1
(ρ) ,
Z
∞
0
R
2
(r) r
2
dr = 1 =
n¯h
2
2ma
3
Z
∞
0
R
2
(ρ) ρ
2
dρ .
const
2
·
n¯h
2
2ma
3
Z
∞
0
dρρ
2l+2
e
−ρ
µ
L
(2l+1)
n−l−1
(ρ)
2
ρ
2l+1
ρ
2l+2
ρ
ρL
(2l+1)
n−l−1
const
2
·
n¯h
2
2ma
3
2n
Z
∞
0
dρρ
2l+1
e
−ρ
µ
L
(2l+1)
n−l−1
(ρ)
2
=
= const
2
·
n¯h
2
2ma
3
2n
(n − l − 1)!
Γ(n + l + 1) = 1 .
Γ(n + l + 1) = (n + l)!
const =
2
n
2
Ã
ma
¯h
2
!
3
2
v
u
u
u
t
(n − l − 1)!
(n + l)!
.
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (134) ÿâëÿåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ïîëèíîì Ëà-
ãåððà ñ íîìåðîì, ñîâïàäàþùèì ñ ðàäèàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì
nr , è öåëî÷èñëåííûì ïàðàìåòðîì α, ðàâíûì α = 2l + 1:
                                                         (2l+1)
                                 Z(ρ) = Ln−l−1 (ρ) .                                                 (137)

Ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî
êîíñòàíòû
                                                             ρ        (2l+1)
                          R(ρ) = const · ρl e− 2 Ln−l−1 (ρ) ,                                        (138)
êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
                                                                3
            Z ∞
                   2     2           nh̄2                          Z   ∞
                  R (r) r dr = 1 =                                             R2 (ρ) ρ2 dρ .       (139)
             0                       2ma                                0

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîðìèðîâî÷íîé êîíñòàíòû çàìåòèì, ÷òî èñêîìûé
èíòåãðàë
                                    3
                         2              Z                                   µ             ¶2
                  2  nh̄                    ∞            2l+2 −ρ               (2l+1)
             const ·                                 dρρ          e             Ln−l−1 (ρ)           (140)
                     2ma                    0

îòëè÷àåòñÿ îò íîðìèðîâî÷íîãî èíòåãðàëà äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà
òåì, ÷òî âìåñòî ñòåïåííîé ôóíêöèè ρ2l+1 ïðèñóòñòâóåò ρ2l+2 . Òåì
íå ìåíåå, îòäåëèâ ëèøíèé ñîìíîæèòåëü ρ, âûðàçèâ ïðîèçâåäåíèå
  (2l+1)
ρLn−l−1 ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (118) è âîñïîëüçî-
âàâøèñü îðòîãîíàëüíîñòüþ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà, ïðèäåì, íàêîíåö, ê
ñîîòíîøåíèþ
                               3
                  2  nh̄2                Z ∞
                                                            2l+1 −ρ
                                                                            µ
                                                                                 (2l+1)
                                                                                          ¶2
           const ·         2n                       dρρ          e             Ln−l−1 (ρ)       =
                     2ma                      0
                                    3
                        2
                 2  nh̄         2n
          = const ·                     Γ(n + l + 1) = 1 .  (141)
                     2ma (n − l − 1)!
Ïîñêîëüêó Γ(n + l + 1) = (n + l)!, íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà îêàçû-
âàåòñÿ ðàâíîé
                                                    v
                                          Ã      !3 u
                                     2        ma 2 uu (n           − l − 1)!
                      const =                  2
                                                    t                        .                       (142)
                                     n2         h̄                (n + l)!

                                                     40

Страницы