Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
(α,β)
n
(−x) = (−1)
n
P
(β,α)
n
(x) .
P
(α,β)
0
(x) = 1 , P
(α,β)
1
(x) =
1
2
[α − β + x(α + β + 2)] ,
P
(α,β)
2
(x) =
x
2
8
(α + β + 3)(α + β + 4) +
x
4
(α − β)(α + β + 3)+
+
1
8
h
(α − β)
2
− (α + β) − 4
i
.
P
(α,β)
n
(−1) = (−1)
n
1
n!
(β + n)(β + n − 1)...(β + 1) ,
P
(α,β)
n
(+1) =
1
n!
(α + n)(α + n − 1)...(α + 1) .
x = −1 x =
+1
p
(n,n)
p
(n,n−1)
p
(n,n)
=
1
2
n
C
n
2n+α+β
, p
(n,n−1)
= p
(n,n)
n(α − β)
2n + α + β
,
Ñèììåòðè÷íîñòü ôîðìóëû (146) ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ïðîâå-
ðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ïðàâèëà ÷åòíîñòè äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè

                           Pn(α,β) (−x) = (−1)n Pn(β,α) (x) .              (147)

Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà ßêîáè èìåþò âèä:
            (α,β)                 (α,β)        1
        P0          (x) = 1 ,   P1        (x) = [α − β + x(α + β + 2)] ,
                                               2
    (α,β)    x2                         x
   P2           (α + β + 3)(α + β + 4) + (α − β)(α + β + 3)+
            (x) =
              8                         4
                    1 h                    i
                  + (α − β)2 − (α + β) − 4 .               (148)
                    8
Íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà ïîëèíîìû ßêîáè ïðèíèìàþò êîíå÷íûå çíà-
÷åíèÿ
                                     1
            Pn(α,β) (−1) = (−1)n        (β + n)(β + n − 1)...(β + 1) ,
                                     n!
                       1
               Pn(α,β) (+1) =
                          (α + n)(α + n − 1)...(α + 1) .  (149)
                       n!
 ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî, ïîäñòàâèâ x = −1 è x =
+1, ñîîòâåòñòâåííî, â ôîðìóëó (146) è îñòàâèâ â ñóììå òîëüêî îäíî
ñëàãàåìîå, îêàçàâøååñÿ íåíóëåâûì.

2.4.3. Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (146), ìîæíî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû p(n,n) è
p(n,n−1) äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè íåïîñðåäñòâåííî, îäíàêî, ýòîò ïðîöåññ
ñîïðÿæåí ñ äîïîëíèòåëüíûì âû÷èñëåíèåì ñóììû, âçÿòîé îò ïðîèç-
âåäåíèÿ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ. ×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî
èñêîìûå êîýôôèöèåíòû èìåþò âèä
                      1 n                                  n(α − β)
        p(n,n) =        C       ,     p(n,n−1) = p(n,n)              ,     (150)
                      2n 2n+α+β                           2n + α + β
àâòîð ðåêîìåíäóåò äåéñòâîâàòü ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè,
âçÿâ çà îñíîâó êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ èç ôîðìóë

                                             42

Страницы