Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
N
2
m
≡ (−1)
m
m!
K
m
p
(m,m)
Z
1
−1
dx (1 − x)
α+m
(1 + x)
β+m
.
x = 2t −1
2
α+β+2m+1
Z
1
0
dt (1 − t)
α+m
t
β+m
,
2
α+β+2m+1
B(β + m + 1, α + m + 1) ,
2
α+β+2m+1
Γ(β + m + 1)Γ(α + m + 1)
Γ(α + β + 2m + 2)
.
K
m
p
(m,m)
C
m
n
Γ(σ + 1) = σΓ(σ) ,
N
2
m
(α, β) = 2
α+β+1
Γ(α + m + 1)Γ(β + m + 1)
m!(α + β + 2m + 1)Γ(α + β + m + 1)
.
(148). Êâàäðàò íîðìû ïîëèíîìà ßêîáè ñ íîìåðîì n ðàâåí, ñîãëàñíî
(39),
                     m!        Z 1
         2
        Nm ≡ (−1)m      p(m,m)     dx (1 − x)α+m (1 + x)β+m .   (151)
                     Km         −1

Èíòåãðàë â ôîðìóëå (151) ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé x = 2t − 1
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
                                 Z 1
                      α+β+2m+1
                     2                 dt (1 − t)α+m tβ+m ,     (152)
                                  0

à ïîòîìó âûðàæàåòñÿ ÷åðåç áåòà-ôóíêöèþ [2]

                2α+β+2m+1 B(β + m + 1, α + m + 1) ,             (153)

êîòîðàÿ, êàê èçâåñòíî, ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ãàììà-ôóíêöèé
                            Γ(β + m + 1)Γ(α + m + 1)
               2α+β+2m+1                             .          (154)
                                Γ(α + β + 2m + 2)
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ Km è p(m,m) , èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå Cnm (109)
è ïàìÿòóÿ î ñâîéñòâå ãàììà-ôóíêöèé

                           Γ(σ + 1) = σΓ(σ) ,                   (155)

ïðèõîäèì ê ôèíàëüíîé ôîðìóëå äëÿ íîðìèðîâî÷íîãî êîýôôèöèåíòà

    2                         Γ(α + m + 1)Γ(β + m + 1)
   Nm (α, β) = 2α+β+1                                       .   (156)
                         m!(α + β + 2m + 1)Γ(α + β + m + 1)




                                        43

Страницы