Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(2n + α + β)(1 − x
2
)
d
dx
P
(α,β)
n
(x) =
= n [(α − β) − (2n + α + β) x] P
(α,β)
n
(x) + 2(n + α)(n + β) P
(α,β)
n−1
(x) .
α β
W(x, t)
ξ = u
−1
µ
1 −
√
1 − 2xu + u
2
, u = 2
ξ − x
ξ
2
− 1
P
(α,β)
n
(x) =
2
α+β
2πi
Z
C
∗
du R
−1
(x, u)
u
n+1
[1 − u + R(x, u)]
α
[1 + u + R(x, u)]
β
.
R(x, u)
R(x, u) =
√
1 − 2xu + u
2
,
u = 0 C
∗
u = 0
W(x, t)
C
∗
W(x, t) =
∞
X
n=0
P
(α,β)
n
(x)t
n
=
=
2
α+β
2πi
Z
C
∗
du
(u − t)
[1 − u + R(x, u)]
−α
[1 + u + R(x, u)]
−β
R
−1
(x, u) .
Òîãäà ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðèíèìàåò âèä
                                                         d (α,β)
                       (2n + α + β)(1 − x2 )              P      (x) =
                                                        dx n
                                                                                   (α,β)
= n [(α − β) − (2n + α + β) x] Pn(α,β) (x) + 2(n + α)(n + β) Pn−1 (x) .
                                                                 (161)
2.4.7. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè
Ïîñêîëüêó â ôîðìóëå (157) ïðè ïðîèçâîëüíûõ íåöåëûõ ïàðàìåòðàõ
α è β ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè è íåîáõîäè-
ìîñòüþ âûäåëåíèÿ èõ îäíîçíà÷íûõ âåòâåé, ðåêîìåíäóåòñÿ ñëåäóþ-
ùèé ìîäèôèöèðîâàííûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè
W(x, t) (52). Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà (157) ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðå-
ìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ

                         −1
                              µ       √                     ¶
                                                                          ξ−x
                   ξ=u         1−         1 − 2xu +    u2       ,   u=2               (162)
                                                                          ξ2 − 1
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
                 2α+β     Z                      du R−1 (x, u)
 Pn(α,β) (x)   =                                                              . (163)
                  2πi         C∗   un+1 [1 − u + R(x, u)]α [1 + u + R(x, u)]β
Ïîä R(x, u) ïîíèìàåòñÿ òà âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè
                                               √
                                   R(x, u) =       1 − 2xu + u2 ,                     (164)

êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó ïðè u = 0. Êîíòóð C ∗ îõâàòûâàåò
òî÷êó u = 0. Ïðè äàííîì èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëèíîìîâ
ßêîáè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ W(x, t) (52) ïîñëå ïðîöåäóðû ñóììè-
ðîâàíèÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ïî êîíòóðó C ∗ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíè-
åì
                                               ∞
                                               X
                                  W(x, t) =          Pn(α,β) (x)tn =
                                               n=0
     2α+β Z          du
=                          [1 − u + R(x, u)]−α [1 + u + R(x, u)]−β R−1 (x, u) .
     2πi      C∗   (u − t)
                                                                         (165)

                                                45

Страницы