Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
(α,β)
n
(x) =
(−1)
n
2πi
2
−n
(1 − x)
−α
(1 + x)
−β
Z
C
dξ
(1 − ξ)
α+n
(1 + ξ)
β+n
(ξ − x)
n+1
.
C ξ = x ξ = ±1
³
1−ξ
1−x
´
α
³
1−ξ
1−x
´
β
ξ = x
A
n
B
n
C
n
p
(n,n)
N
2
n
p
(n,n−1)
A
n
=
(2n + α + β + 1)(2n + α + β + 2)
2(n + 1)(n + α + β + 1)
,
B
n
=
(α
2
− β
2
)(2n + α + β + 1)
2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β)
,
C
n
=
(n + α)(n + β)(2n + α + β + 2)
(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β)
.
2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β) P
(α,β)
n+1
(x)−
−(2n+α+β+1)
h
(2n+α+β)(2n+α+β+2)x+α
2
−β
2
i
P
(α,β)
n
(x)+
+2(n + α)(n + β)(2n + α + β + 2) P
(α,β)
n−1
(x) = 0 .
X
00
= − 2 β
n
β
n
=
2(n + α)(n + β)
(2n + α + β)
.
2.4.4. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ ßêîáè
Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòà-
òó, åñëè ðå÷ü èäåò î ïîëèíîìàõ ßêîáè:
          (−1)n −n                  Z     (1 − ξ)α+n (1 + ξ)β+n
Pn(α,β) (x)
        =                −α
                2 (1 − x) (1 + x)−β
                                       dξ                       .
            2πi                      C         (ξ − x)n+1
                                                            (157)
Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C îõâàòûâàåò òî÷êó ξ = x, òî÷êè ξ = ±1
ëåæàò âíóòðè êîíòóðà, à îäíîçíà÷íûå âåòâè ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé
³       ´       ³       ´
    1−ξ α           1−ξ β
    1−x     è       1−x     âûáèðàþòñÿ ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû ïðè ξ = x îíè
ðàâíÿëèñü åäèíèöå.

2.4.5. Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè
Êîýôôèöèåíòû An , Bn è Cn èç ôîðìóë (43), ïîëó÷àþòñÿ, êàê è
ïðåæäå, ñ ïîìîùüþ íàéäåííûõ êîýôôèöèåíòîâ p(n,n) , Nn2 è p(n,n−1) :
                                  (2n + α + β + 1)(2n + α + β + 2)
                       An =                                        ,
                                       2(n + 1)(n + α + β + 1)
                      (α2 − β 2 )(2n + α + β + 1)
                      Bn =                           ,
                2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β)
                   (n + α)(n + β)(2n + α + β + 2)
           Cn =                                     .                          (158)
                 (n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β)
Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (42) ïðåäñòàíóò â âèäå
                                                                   (α,β)
                    2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β) Pn+1 (x)−
                              h                                            i
     −(2n+α+β+1) (2n+α+β)(2n+α+β+2)x+α2 −β 2 Pn(α,β) (x)+
                                                           (α,β)
            +2(n + α)(n + β)(2n + α + β + 2) Pn−1 (x) = 0 .                    (159)
2.4.6. Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè
                                       00
Äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè X = − 2, à âåëè÷èíà βn , âû÷èñëåííàÿ ñ ïî-
ìîùüþ (51) è (158), îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé
                                            2(n + α)(n + β)
                                    βn =                    .                  (160)
                                             (2n + α + β)
                                                44

Страницы