Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

|t| < 1
C
∗
u = t
W(x, t) = 2
α+β
[1 − t + R(x, t)]
−α
[1 + t + R(x, t)]
−β
R
−1
(x, t) .
α = β ≡ λ −
1
2
.
a = −1 , b = 1 , X(x) = 1−x
2
, W (x) = (1 −x
2
)
λ−
1
2
, λ > −
1
2
,
K
n
= (−1)
n
2
n
n! , λ
n
= n(n + 2λ) .
(1−x
2
)
d
2
dx
2
P
(λ)
n
(x)−x(2λ+1)
d
dx
P
(λ)
n
(x)+n(n+2λ) P
(λ)
n
(x) = 0 .
Ñõîäèìîñòü ðÿäà â ôîðìóëå (165) îáåñïå÷åíà, åñëè |t| < 1. Êîíòóð
èíòåãðèðîâàíèÿ C ∗ ïîñòðîåí òàê, ÷òî òî÷êà u = t ÿâëÿåòñÿ åäèí-
ñòâåííîé îñîáîé òî÷êîé â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè, à ïîòîìó
âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî òåîðåìå î âû÷åòàõ ìãíîâåííî äàåò ñëåäó-
þùèé ðåçóëüòàò:

 W(x, t) = 2α+β [1 − t + R(x, t)]−α [1 + t + R(x, t)]−β R−1 (x, t) . (166)


2.5. ×àñòíûå ñëó÷àè ïîëèíîìîâ ßêîáè
 çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè âñòðå÷àþòñÿ ïðèìåðû ïîëèíî-
ìîâ ßêîáè, èçâåñòíûå êàê óëüòðàñôåðè÷åñêèå ïîëèíîìû Ãåãåíáàó-
ýðà (Gegenbauer L.), ñôåðè÷åñêèå ïîëèíîìû Ëåæàíäðà (Legendre
A.M.) è ïîëèíîìû ×åáûøåâà (×åáûøåâ Ï.Ë.). Êðàòêî îáñóäèì ñâîé-
ñòâà ýòèõ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

2.5.1. Ïîëèíîìû Ãåãåíáàóýðà (Gegenbauer L.)
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ Ãåãåíáàóýðà îòíîñèòñÿ ê ðàçðÿäó îä-
íîïàðàìåòðè÷åñêèõ è ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äâóõïàðà-
ìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ ßêîáè ïðè
                                           1
                            α=β ≡λ−          .                      (167)
                                           2
 òàêîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû.
Ñòàíäàðòèçàöèÿ
                                                            1        1
a = −1 ,   b = 1,   X(x) = 1 − x2 ,     W (x) = (1 − x2 )λ− 2 ,   λ>− ,
                                                                     2
                 Kn = (−1)n 2n n! ,     λn = n(n + 2λ) .            (168)

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
        d2 (λ)           d
 (1−x ) 2 Pn (x)−x(2λ+1) Pn(λ) (x)+n(n+2λ) Pn(λ) (x) = 0 . (169)
      2
       dx               dx

                                   46

Страницы