Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a = −1 , b = 1 , X(x) = 1 − x
2
, W (x) = (1 − x)
α
(1 + x)
β
,
K
n
= (−1)
n
2
n
n! , λ
n
= n (n + α + β + 1) , α, β > −1 .
X(x) W (x)
(1 − x
2
)
d
2
dx
2
P
(α,β)
n
(x) + [(β − α) − x(α + β + 2)]
d
dx
P
(α,β)
n
(x)+
+n(n + α + β + 1) P
(α,β)
n
(x) = 0 .
P
(α,β)
n
(x) = (−1)
n
1
2
n
n!
(1 − x)
−α
(1 + x)
−β
d
n
dx
n
h
(1 − x)
n+α
(1 + x)
n+β
i
.
n
P
(α,β)
n
(x) =
Ã
1
2
!
n
n
X
m=0
C
m
n+α
C
n−m
n+β
(−1)
m+n
(1 − x)
n−m
(1 + x)
m
.
Îòìåòèì, ÷òî â ó÷åáíèêå [13] èñïîëüçîâàíà èíàÿ ñòàíäàðòèçàöèÿ ïî-
ëèíîìîâ Ëàãåððà, è ïîòîìó íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü è ïîðÿäêî-
âûé íîìåð ïîëèíîìà, ó÷àñòâóþùåãî â ïîñòðîåíèè ðàäèàëüíîé ÷àñòè
âîëíîâîé ôóíêöèè, íå ñîâïàäàþò ñ ïðèâåäåííûìè âûøå.


              2.4. Ïîëèíîìû ßêîáè (Jacobi C.G.J.)

2.4.1. Còàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè
Ñòàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:

    a = −1 , b = 1 ,        X(x) = 1 − x2 ,     W (x) = (1 − x)α (1 + x)β ,

    Kn = (−1)n 2n n! ,          λn = n (n + α + β + 1) ,   α, β > −1 .   (143)

Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè X(x) è W (x) èç (143) â (8), ïîëó÷èì, ÷òî ïî-
ëèíîìû ßêîáè óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ

                  d2 (α,β)                                 d (α,β)
     (1 − x2 )       P n   (x) + [(β − α) − x(α + β + 2)]   P      (x)+
                 dx2                                      dx n
                         +n(n + α + β + 1) Pn(α,β) (x) = 0 .             (144)

2.4.2. Ôîðìóëà Ðîäðèãà
Èç ôîðìóëû Ðîäðèãà (20) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïîëè-
íîìîâ ßêîáè:
                                            n h
                      1                −β d
                                                                      i
Pn(α,β) (x)          n        −α
              = (−1) n (1 − x) (1 + x)         (1 − x) n+α
                                                           (1 + x)n+β
                                                                        .
                     2 n!                dxn
                                                                   (145)
Âûïîëíÿÿ ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà (108) ïðÿìîå n-êðàòíîå äèôôåðåí-
öèðîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñòåïåííûõ ôóíêöèé â ôîðìóëå (145),
ïîëó÷èì ñóììó
                  Ã !n n
                   1 X
  Pn(α,β) (x) =                  m
                                Cn+α  n−m
                                     Cn+β (−1)m+n (1 − x)n−m (1 + x)m . (146)
                    2     m=0


                                          41

Страницы