Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α =
1
2
α = −
1
2
H
2m
(x) = (−1)
m
2
2m
m! L
(−
1
2
)
m
(x
2
) ,
H
2m+1
(x) = (−1)
m
2
2m+1
m! x L
(
1
2
)
m
(x
2
) .
(−1)
m
2
2m
m! L
(−
1
2
)
m
(x
2
) =
=
m
X
k=0
(−1)
m+k
x
2k
2
2m
m!
k!(m − k)!
Ã
m −
1
2
!Ã
m −
3
2
!
...
Ã
k +
1
2
!
.
m
X
k=0
(−1)
m+k
(2x)
2k
(2m)!
(2k)!(m − k)!
.
H
2m
(x) = (2m)!
m
X
l=0
(−1)
l
(2x)
2(m−l)
l!(2(m −l))!
.
(m − l) → k
2.3.8. Ñâÿçü ïîëèíîìîâ Ëàãåððà è ïîëèíîìîâ Ýðìèòà
                                                                  1
Ïîëèíîìû Ëàãåððà ñ ïîëóöåëûìè ïàðàìåòðàìè α =                     2   è α = − 21
èãðàþò âûäåëåííóþ ðîëü, ïîñêîëüêó ñ èõ ïîìîùüþ îñóùåñòâëÿåòñÿ
ñâÿçü ïîëèíîìîâ Ýðìèòà è Ëàãåððà
                                                      1
                 H2m (x) = (−1)m 22m m! L(− 2) 2
                                         m (x ) ,

                                                          1
              H2m+1 (x) = (−1)m 22m+1 m! x L(m2 ) (x2 ) .                  (128)

Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ïåðâîé èç óêàçàííûõ
ôîðìóë, ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (111)
çàïèøåì ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîé èç ôîðìóë (128)
                                            1
                        (−1)m 22m m! Lm
                                      (− 2 ) 2
                                            (x ) =
     m                                  Ã         !Ã          !   Ã       !
     X        m+k 2k 2m       m!        1    3         1
   =    (−1)   x 2                   m−  m−    ... k +    .
     k=0                  k!(m − k)!    2    2         2
                                                         (129)
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîñëå ëåãêî ïðåäñêàçóåìûõ àëãåáðàè÷åñêèõ è
êîìáèíàòîðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâîäèòñÿ ê âèäó
                  m
                  X                          (2m)!
                      (−1)m+k (2x)2k                   .                   (130)
                  k=0                    (2k)!(m − k)!
Ñ äðóãîé ñòîðîíû ôîðìóëà (78) äàåò
                                  m
                                  X               (2x)2(m−l)
               H2m (x) = (2m)!          (−1)l                 .            (131)
                                  l=0           l!(2(m − l))!
Òîò ôàêò, ÷òî ôîðìóëû (130) è (131) ñîâïàäàþò, ñòàíîâèòñÿ î÷å-
âèäíûì åñëè â ïîñëåäíåé ôîðìóëå çàìåíèòü èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ
ïî ïðàâèëó (m − l) → k . Âòîðàÿ ôîðìóëà èç (128) äîêàçûâàåòñÿ
àíàëîãè÷íî.




                                    38

Страницы