Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
n
B
n
C
n
p
(n,n)
N
2
n
p
(n,n−1)
A
n
= −
1
n + 1
, B
n
=
2n + α + 1
n + 1
, C
n
=
α + n
n + 1
.
C
n
Γ(α + n + 1) = (α + n)Γ(α + n)
(n + 1)L
(α)
n+1
(x) −(2n + α + 1 −x)L
(α)
n
(x) + (n + α)L
(α)
n−1
(x) = 0 .
X(x)=x
X
00
(x) β
n
β
n
= −
C
n
A
n
p
(1,1)
K
1
= −(n + α) ,
x
d
dx
L
(α)
n
(x) = nL
(α)
n
(x) − (n + α) L
(α)
n−1
(x) .
d
dx
·
L
(α)
n
(x) − L
(α)
n+1
(x)
¸
= L
(α)
n
(x) .
n n + 1
x
2.3.5. Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû An , Bn è Cn èç ôîðìóë
(43), èñïîëüçóåì êîýôôèöèåíòû p(n,n) , Nn2 è p(n,n−1) , íàéäåííûå â
ïóíêòå 2.3.3. Èñêîìûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû
                    1             2n + α + 1            α+n
       An = −          ,   Bn =              ,   Cn =       .    (117)
                   n+1              n+1                 n+1
Ïðè âû÷èñëåíèè Cn áûëî èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ãàììà-ôóíêöèé
Γ(α + n + 1) = (α + n)Γ(α + n). Òîãäà ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ
(42) ïðåäñòàíóò â âèäå
         (α)                                            (α)
 (n + 1)Ln+1 (x) − (2n + α + 1 − x)L(α)
                                    n (x) + (n + α)Ln−1 (x) = 0 . (118)


2.3.6. Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà
Äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà X(x)=x, à ïîòîìó âòîðûå ïðîèçâîäíûå
  00
X (x) â ôîðìóëàõ (50), (51) èñ÷åçàþò. Âåëè÷èíà βn îêàçûâàåòñÿ ðàâ-
íîé
                         Cn
                 βn = − p(1,1) K1 = −(n + α) ,               (119)
                         An
à ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (50) ïðèíèìàåò âèä
                    d (α)                         (α)
               x      Ln (x) = nL(α)
                                 n (x) − (n + α) Ln−1 (x) .      (120)
                   dx
Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ôîðìóëû (120) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå ñî-
îòíîøåíèå
                  d · (α)       (α)
                                      ¸
                     Ln (x) − Ln+1 (x) = L(α)
                                          n (x) .           (121)
                 dx
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîâåðèòü ýòî ñîîòíîøåíèå äîñòàòî÷íî â óðàâíåíèè
(120) çàìåíèòü n íà n + 1, èç (120) âû÷åñòü òðàíñôîðìèðîâàííîå
óðàâíåíèå, èñïîëüçîâàòü ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå (118) è, íàêî-
íåö, ðàçäåëèòü ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íà x.



                                     36

Страницы