Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

χ(ξ) n
χ(ξ) = const · H
n
(ξ) .
Z
∞
−∞
Ψ
2
n
(x)dx = 1 ,
(const)
2
·
v
u
u
t
¯h
mω
Z
∞
−∞
e
−ξ
2
H
2
n
(ξ)dξ = (const)
2
·
v
u
u
t
¯h
mω
N
2
n
= 1 .
Ψ
n
(x) =
Ã
mω
π¯h
!
1
4
1
√
2
n
n!
e
−
mω
2¯h
x
2
H
n
Ã
x
s
mω
¯h
!
.
a = 0 , b = ∞, X(x)=x , W (x)=x
α
e
−x
, α > −1 , K
n
=n! , λ
n
=n .
L
(0)
n
(x)
α 6= 0 L
(α)
n
(x)
à ôóíêöèÿ χ(ξ) ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëèíîìó Ýðìèòà ñ íîìåðîì n:

                               χ(ξ) = const · Hn (ξ) .                           (101)

Êîíñòàíòà íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè
                                  Z ∞
                                           Ψ2n (x)dx = 1 ,                       (102)
                                      −∞

êîòîðîå, î÷åâèäíî, ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ íîðìèðîâêè ïîëèíîìîâ Ýð-
ìèòà:
               v                                               v
               u         Z ∞                                   u
               u
               t    h̄            2                            u
                                                               t    h̄
  (const)2 ·                   e−ξ Hn2 (ξ)dξ = (const)2 ·              Nn2 = 1 . (103)
                   mω    −∞                                        mω
Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì (80), ïîëó÷èì âîëíîâóþ ôóíêöèþ
                           Ã          !1                     Ã s         !
                        mω             4     1       − mω   2      mω
               Ψn (x) =                    √       e   2h̄ x H   x           .   (104)
                                                               n
                        πh̄                  2n n!                  h̄
Îêàçàëîñü, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî îñöèëëÿ-
òîðà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì êëàññà ôóíêöèé Âåáåðà-Ýðìèòà (74),
(75).


                         2.3. Ïîëèíîìû Ëàãåððà
2.3.1. Còàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà
Ïðè ñòàíäàðòèçàöèè ïîëèíîìîâ Ëàãåððà óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëå-
äóþùèå ïðàâèëà:

 a = 0 , b = ∞ , X(x)=x , W (x)=xα e−x , α > −1 , Kn =n! , λn =n .
                                                                                 (105)
Çàìå÷àíèå
Èíîãäà ïîëèíîìàìè Ëàãåððà íàçûâàþò ïîëèíîìû L(0)
                                             n (x), à åñëè
α 6= 0, òî L(α)
            n (x) èìåíóþòñÿ îáîáùåííûìè ïîëèíîìàìè Ëàãåððà. Â
äàííîé ðàáîòå ïðèìåíÿåòñÿ òåðìèíîëîãèÿ êíèãè [1], è òåðìèí "îáîá-
ùåííûé"íå èñïîëüçóåòñÿ.

                                               33

Страницы