Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(6)
W (x)
W (0)=1 W (x)
x
a=−∞ b=∞ λ
n
λ
1
λ
n
= −nK
1
p
(1,1)
= nλ
1
> 0 .
H
n
(x)
X(x)
X(x) x
x X(x) = x
W
0
(x)
W (x)
= −λ
1
x +
α
x
,
α ≡ −1 −
p
(1,0)
λ
1
p
(1,1)
.
W (x) = x
α
exp{−λ
1
x},
W (x) [0, ∞)
α > −1, λ
1
> 0
α λ
1
W (x)X(x) = x
α+1
exp{−λ
1
x}
[0, ∞) λ
n
Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèÿ (6)
îòíîñèòåëüíî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèè W (x) âûáðàíà
ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû W (0)=1. Âåñîâàÿ ôóíêöèÿ W (x) (58) íå
îòðèöàòåëüíà è íå îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ x,
ïîýòîìó ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè è ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ìîãóò áûòü âûáðàíû ïî ñëå-
äóþùåìó ïðàâèëó a=−∞ , b=∞. Ïàðàìåòðû λn , ñîãëàñíî (29) âû-
ðàæàþòñÿ ÷åðåç ïîëîæèòåëüíóþ êîíñòàíòó λ1

                   λn = −nK1 p(1,1) = nλ1 > 0 .              (59)

Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû äàííîãî êëàññà îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Hn (x),
êîðåííàÿ áóêâà ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîé áóêâå ôàìèëèè ôðàíöóçñêîãî
ìàòåìàòèêà Ýðìèòà (Hermite C.)

2.1.2. X(x) - ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè
Ïóñòü X(x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ïåðåìåííîé x.
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, çà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèé íåçàâèñèìîé ïåðå-
ìåííîé x ìîæíî äîáèòüñÿ ðàâåíñòâà X(x) = x. Èç ôîðìóëû (16)
ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ýòîãî êëàññà óðàâíåíèå
Ïèðñîíà (19) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
                         0
                       W (x)          α
                             = −λ1 x + ,                     (60)
                       W (x)          x
ãäå
                                p(1,0) λ1
                       α ≡ −1 −           .                  (61)
                                 p(1,1)
Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ (60) ïðèâîäèò ê âåñîâîé ôóíêöèè

                     W (x) = xα exp{−λ1 x} ,                 (62)

ïðè÷åì ôóíêöèÿ W (x) íå èìååò íóëåé âíóòðè èíòåðâàëà [0, ∞) è èí-
òåãðèðóåìà â ýòîì èíòåðâàëå ïðè α > −1, λ1 > 0. Ïðè òåõ æå îãðà-
íè÷åíèÿõ íà α è λ1 ïðîèçâåäåíèå W (x)X(x) = xα+1 exp{−λ1 x} îá-
ðàùàåòñÿ â íóëü íà êîíöàõ èíòåðâàëà [0, ∞). Ïàðàìåòð λn çàäàåòñÿ

                                 25

Страницы