Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t
n
n!
t
n
W(x, t) =
∞
X
n=0
t
n
n!
2πi K
n
W (x)
Z
C
W (ξ)X
n
(ξ)
(ξ − x)
n+1
dξ =
=
1
2πiW (x)
Z
C
W (ξ)
(ξ − x)
dξ
∞
X
n=0
tX(ξ)
ξ − x
n
n!
K
n
.
K
n
F (ξ, x, t) ≡
∞
X
n=0
tX(ξ)
ξ − x
n
n!
K
n
,
Çàìå÷àíèå
 îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà, áîëåå
                                  tn
óäîáíî ââåñòè â (52) ìíîæèòåëü    n!   âìåñòî tn .
  Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî îáùèõ ðåöåïòîâ ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé
ôóíêöèè; óêàæåì îäèí íàèáîëåå ïðîñòîé, à èìåííî, ðåöåïò, îñíî-
âàííûé íà èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.
Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41) è äîïóñêàÿ, ÷òî âûïîë-
íåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çíàêè ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ
ïî êîíòóðó ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè, èç ôîðìóëû (52) ïîëó÷èì ñëå-
äóþùåå ñîòíîøåíèå:
                      ∞
                      X       tn n!   Z W (ξ)X n (ξ)
            W(x, t) =                           n+1
                                                     dξ =
                      n=0 2πi Kn W (x) C (ξ − x)
                                                    n
                  1    Z   W (ξ)    ∞
                                    X   tX(ξ)  n!
             =                   dξ               .         (53)
               2πiW (x) C (ξ − x) n=0 ξ − x     Kn
Çíàÿ âåëè÷èíó Kn , ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü ðÿä â ôîðìóëå (53)
                                             n
                                ∞
                                X      tX(ξ)  n!
                   F (ξ, x, t) ≡                  ,         (54)
                                 n=0   ξ − x   K n

à çàòåì íàéòè îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë ïî òåîðèè âû÷åòîâ. Êîíêðåòíûé
âèä ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áóäåò ðàññìîòðåí íèæå äëÿ êëàññè÷å-
ñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.




                                  23

Страницы