Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
n
(x) Y
n
(x)
P
n
(x)
Y
n
(x)
Y
n
(x)
P
n
(x) ≡ 0
λ
n
6= n
"
λ
1
−
1
2
(n − 1)X
00
#
λ
n
• λ
n
X(x)
• λ
0
= 0
• λ
n
n 6= 0
λ
1
> 0
X
00
≤ 0
•
λ
m
− λ
n
≡ (m − n)
h
λ
1
−
1
2
X
00
(m + n − 1)
i
m n
îò (29). Òîãäà Pn (x) îðòîãîíàëüíà êî âñåì Yn (x) (ñì. (12)). Ñ äðóãîé
ñòîðîíû â ñèëó ïîëíîòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îðòîãîíàëüíûõ ïîëè-
íîìîâ ëþáàÿ ôóíêöèÿ Pn (x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ïîìîùüþ
ðàçëîæåíèÿ (14), (15) ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì Yn (x). Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå â ðàçëîæåíèè ýòîé ôóíêöèè
â ðÿä ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì Yn (x) íåïðåìåííî ðàâíû íóëþ,
è Pn (x) ≡ 0, òî åñòü, ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. Èíûìè ñëîâàìè,
ïðè                          "                 #
                               1         00
                   λn 6= n λ1 − (n − 1)X                (36)
                               2
íå ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíå-
íèÿ äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

1.3.1. Çàìå÷àíèå î ñâîéñòâàõ êîíñòàíò λn

  • Âåëè÷èíà λn (29) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿòñÿ êîíñòàíòîé, òàê êàê
    ôóíêöèÿ X(x) åñòü ïîëèíîì ïîðÿäêà íå âûøå âòîðîãî.

  • Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, λ0 = 0 ñîãëàñíî ôîðìóëå (29).

  • Ïîñêîëüêó ñðåäè çíà÷åíèé λn ñ ðàçíûìè íîìåðàìè íå äîëæ-
      íî áûòü ñîâïàäàþùèõ, òî íè îäíà èç ýòèõ êîíñòàíò íå ìîæåò
      áûòü ðàâíîé íóëþ, åñëè òîëüêî n 6= 0; ÷òîáû äîáèòüñÿ ýòîãî,
      äîñòàòî÷íî ïðè ñòàíäàðòèçàöèè ïîëèíîìîâ ïîëîæèòü λ1 > 0 è
       00
      X ≤ 0.

  • Åñëè âûïîëíåíû îãðàíè÷åíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, òî î÷å-
                                         h                     i
                                               1 00
    âèäíî, ÷òî ðàçíîñòü λm − λn ≡ (m − n) λ1 − 2 X (m + n − 1)
      íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè ïðè êàêèõ íå ðàâíûõ äðóã äðóãó íåíó-
      ëåâûõ m è n.




                                  17

Страницы