Релятивистская теория многочастичных систем. Часть II. Релятивистская гидродинамика. Балакин А.Б. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Dn + n∇
k
V
k
+ ∇
k
J
k
− J
k
DV
k
= nΓ ,
nDx
(a)
+ J
i
∇
i
x
(a)
= ω
(a)
− x
(a)
nΓ + I
i
(a)
DV
i
− ∇
i
I
i
(a)
.
V
k
V
k
= 1
V
k
J
k
= 0 Γ
V
i
U
i
J
i
Dn + n∇
k
U
k
= nΓ ,
nDx
(a)
= ω
(a)
− x
(a)
nΓ + I
i
(a)
DV
i
− ∇
i
I
i
(a)
.
V
i
U
i
Dn + n∇
k
U
k
− ∇
k
Ã
1
h
I
k
(q)
!
+
1
h
I
k
(q)
DV
k
= nΓ .
nDx
(a)
−
1
h
I
k
(q)
∇
i
x
(a)
= ω
(a)
− x
(a)
nΓ + I
i
(a)
DV
i
− ∇
i
I
i
(a)
.
δN
(tot)
δN
(tot)
≡
Z
V
dV nΓ =
Z
V
dV N
k
;k
=
Z
V
d
4
x
√
−g
1
√
−g
∂
∂x
k
(
√
−gN
k
) =
=
Z
V
d
4
x
∂
∂x
k
(
√
−gN
k
) =
Z
∂V
dΣ
k
N
k
.
Âñïîìèíàÿ ïðî ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðà ïîòîêà ÷èñëà ÷àñòèö (5) è
ïðî ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà êîâàðèàíòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (52),
ïîëó÷èì ïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî

                     Dn + n∇k V k + ∇k J k − J k DVk = nΓ ,                        (57)

          nDx(a) + J i ∇i x(a) = ω(a) − x(a) nΓ + I(a)
                                                   i             i
                                                       DVi − ∇i I(a) .             (58)
Äëÿ äîñòèæåíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà áûëè èñïîëüçîâàíû äâà
èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèÿ: íîðìèðîâêè V k Vk = 1 è îðòîãîíàëüíîñòè
V k Jk = 0, à òàêæå ñîãëàñíî (56) ââåäåíà ôóíêöèÿ Γ, îïèñûâàþùàÿ
ñêîðîñòü ïðîèçâîäñòâà ÷àñòèö.
  Åñëè â êà÷åñòâå V i âûáðàíà ñêîðîñòü U i , îïðåäåëåííàÿ ïî Ýêêàð-
òó, òî âåêòîð J i îáðàùàåòñÿ â íóëü, è óðàâíåíèÿ áàëàíñà (57), (58)
ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó
                                   Dn + n∇k U k = nΓ ,                             (59)
                                              i             i
                   nDx(a) = ω(a) − x(a) nΓ + I(a) DVi − ∇i I(a) .                  (60)
Åñëè â êà÷åñòâå V i âûáðàíà ñêîðîñòü U i , îïðåäåëåííàÿ ïî Ëàíäàó
- Ëèôøèöó, òî óðàâíåíèÿ áàëàíñà (57),(58) ïðèíèìàþò áîëåå ñëîæ-
íûé âèä:
                                             Ã         !
                                   k             1 k     1 k
              Dn + n∇k U − ∇k                      I(q) + I(q) DVk = nΓ .          (61)
                                                 h       h
             1 k                              i             i
    nDx(a) − I(q) ∇i x(a) = ω(a) − x(a) nΓ + I(a) DVi − ∇i I(a) . (62)
             h
Äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ áàëàíñà (56) ìîæíî ñîïîñòàâèòü
èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå. Ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö, ïðîèçâåäåííûõ ãèä-
ðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé δN(tot) ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû
Ãàóññà:
              Z                Z                   Z        √    1 ∂ √
  δN(tot) ≡        dV nΓ =             dV N;kk =        d4 x −g √       k
                                                                          ( −gN k ) =
               V                   V                  V           −g ∂x
                          Z             ∂ √             Z
                      =       d4 x        k
                                            ( −gN k
                                                    ) =     dΣk N k .              (63)
                          V            ∂x                ∂V

                                                 17

Страницы