Релятивистская теория многочастичных систем. Часть II. Релятивистская гидродинамика. Балакин А.Б. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

I
k
(q)
~
I
(q)
= −λ
~
∇T .
Π
ik
U
i
Π
ik
(0)
Π ≡ Π
k
k
Π
ik
= Π
ik
(0)
+
1
3
∆
ik
Π .
Π
ik
(0)
Π
Π
ik
(0)
= ησ
ik
= η
"
1
2
³
∇
i
U
k
+ ∇
k
U
i
´
−
1
3
∆
ik
∇
l
U
l
#
,
Π = 3ζΘ = 3ζ∇
k
U
k
,
Π
ik
= ησ
ik
+ ζΘ∆
ik
.
η ζ
Π
ik
∇
k
U
i
= ησ
ik
σ
ik
+ ζΘ
2
=
1
η
Π
ik(0)
Π
ik
(0)
+
1
9ζ
Π
2
σ = −
1
λT
2
I
k
(q)
I
k(q)
+
1
η
Π
ik
(0)
Π
ik(0)
+
1
9ζ
Π
2
.
ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè äëÿ ïðîèç-
âîäñòâà ýíòðîïèè (90), ñòàíåò ïðè ýòîì ÿâíî íåîòðèöàòåëüíûì â ñè-
                                             k
ëó ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîñòè ÷åòûðå-âåêòîðà I(q) .  íåðåëÿòèâèñò-
ñêîì ïðåäåëå èç ñîîòíîøåíèÿ (91) àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò èçâåñòíûé
çàêîí Ôóðüå
                                          ~ .
                                I~(q) = −λ∇T                           (93)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü íåîòðèöàòåëüíîñòü âòîðîãî ñëàãà-
åìîãî â (90), ìû äîëæíû ïîñòðîèòü ñèììåòðè÷íûé òåíçîð Πik èç
ïðîèçâîäíûõ îò ÷åòûðå-âåêòîðà ñêîðîñòè U i . Îáû÷íî â ýòîì òåí-
çîðå âûäåëÿþò áåññëåäîâóþ ÷àñòü Πik
                                 (0) è ÷àñòü, ïðîïîðöèîíàëüíóþ
ñëåäó ýòîãî òåíçîðà Π ≡ Πkk :
                                   1 ik
                      Πik = Πik
                             (0) +   ∆ Π.                (94)
                                   3
Êëàññè÷åñêèå àíàëîãè äèêòóþò íàì ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: îáîá-
ùåííûé çàêîí Íüþòîíà óñòàíàâëèâàåò, ÷òî áåññëåäîâàÿ ÷àñòü Πik
                                                           (0)
òåíçîðà àíèçîòðîïíîãî äàâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà òåíçîðó ñäâèãà,
à îáîáùåííûé çàêîí Ñòîêñà ãëàñèò, ÷òî ñëåä Π ïðîïîðöèîíàëåí äè-
âåðãåíöèè ñêîðîñòè. Òîãäà â ïðèíÿòûõ íàìè îáîçíà÷åíèÿõ ïîëó÷èì
                            "                                      #
                         1³ i k        ´ 1
         Πik
          (0)
                    ik
                = ησ = η   ∇ U + ∇k U i − ∆ik ∇l U l ,                 (95)
                         2               3
                          Π = 3ζΘ = 3ζ∇k U k ,                         (96)
                          Πik = ησ ik + ζΘ∆ik .                        (97)
Êîýôôèöèåíòû η è ζ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíñòàíòû ñäâèãîâîé è
îáúåìíîé âÿçêîñòè, ñîîòâåòñòâåííî.  òàêîì ñëó÷àå âåëè÷èíà
                                        1               1 2
           Πik ∇k Ui = ησ ik σik + ζΘ2 = Πik(0) Πik
                                                 (0) +    Π            (98)
                                        η              9ζ
ãàðàíòèðîâàííî íåîòðèöàòåëüíà. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ñëåäóþ-
ùåå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäñòâà ýíòðîïèè:
                       1 k              1 ik               1 2
                σ=−        I(q) Ik(q) +   Π (0) Π ik(0) +    Π .       (99)
                      λT 2              η                 9ζ
                                     26

Страницы