Релятивистская теория многочастичных систем. Часть II. Релятивистская гидродинамика. Балакин А.Б. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

τ
∂
∂t
~
I
(q)
+
~
I
(q)
= −λ
~
∇T ,
τ → 0
τ
τ
∂
2
∂t
2
T +
∂
∂t
T − χ
~
∇
2
T = 0
α
0
= α
1
= 0
U
i
s
(eq)
T nDs
(eq)
= 2I
k
(q)
DU
k
− ∇
k
I
k
(q)
+ Π
ik
∇
k
U
i
.
Ýòî âûðàæåíèå êâàäðàòè÷íî ïî òåðìîäèíàìè÷åñêèì ïîòîêàì, íî ëè-
íåéíî ïî êîýôôèöèåíòàì òåïëîïðîâîäíîñòè è âÿçêîñòè.
3.3.2. Ïðè÷èííàÿ òåðìîäèíàìèêà
 êëàññè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêå èçâåñòåí îáîáùåííûé çàêîí Ôóðüå
                          ∂~
                      τ      I(q) + I~(q) = −λ∇T
                                              ~ ,            (100)
                          ∂t
êîòîðûé ïðèíÿòî íàçûâàòü çàêîíîì Ìàêñâåëëà - Êàòòàíåî [31,32].
Ýòîò çàêîí ïðåâðàùàåòñÿ â çàêîí Ôóðüå (93) ïðè τ → 0, îäíàêî,
ïðè íåíóëåâûõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè ðåëàêñàöèè τ ýòîò çàêîí äåëàåò
óðàâíåíèå ýâîëþöèè òåìïåðàòóðû

                      ∂2    ∂     ~ 2T = 0
                     τ 2 T + T − χ∇                          (101)
                      ∂t    ∂t
óðàâíåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ïà-
ðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðè-
âîäèò ê òîìó, ÷òî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà ñòàíîâèòñÿ êîíå÷-
íîé, è ìû âïðàâå ãîâîðèòü î ñîîòâåòñòâèè äàííîé ìîäåëè òðåáîâà-
íèÿì ïîñòóëàòîâ òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.
  Îáîáùàÿ çàêîí Ìàêñâåëëà - Êàòòàíåî íà ðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé,
ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ìîäåëü ñ íóëåâûìè èñòî÷íèêàìè è ñ íó-
ëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè α0 = α1 = 0, îïèñûâàþùèìè âçàèìîäåé-
ñòâèå ìåæäó âÿçêîñòüþ è òåïëîïðîâîäíîñòüþ â ôîðìóëå (29). Ïóñòü
ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ñêîðîñòü U i îïðåäåëåíà ñîãëàñíî ïðàâèëó Ýêêàð-
òà. Áóäåì èñõîäèòü èç àíçàöà Èçðàýëÿ - Ñòüþàðòà î òîì, ÷òî íè
óðàâíåíèå Ãèááñà, íè îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû íå ìîäèôèöèðóþò-
ñÿ, ò.å., ïåðåíîñÿòñÿ áåç èçìåíåíèé èç ðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè â
ïðè÷èííóþ. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèíÿòûõ íàìè îáî-
çíà÷åíèÿõ èìåííî ñêàëÿð ýíòðîïèè s(eq) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Ãèááñà (77),(79)

                           k             k
             T nDs(eq) = 2I(q) DUk − ∇k I(q) + Πik ∇k Ui .   (102)

                                   27

Страницы