Релятивистская теория многочастичных систем. Часть II. Релятивистская гидродинамика. Балакин А.Б. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ds =
1
T
∂e
∂T
DT +
1
T
Ã
∂e
∂n
−
P
n
2
!
Dn ,
∂s
∂T
=
1
T
∂e
∂T
,
∂s
∂n
=
1
T
Ã
∂e
∂n
−
P
n
2
!
.
∂
2
s
∂T ∂n
=
∂
2
s
∂n∂T
,
Ds
n
2
∂e
∂n
+ T
∂P
∂T
= P .
W
n
∂W
∂n
+ T
∂P
∂T
= W + P .
e n
W
W = ne(T )
P = f
1
(n)T f
1
(n)
P = nk
B
T, W = ne(T ) , e(T ) = k
B
T
λ
K
3
(λ)
K
2
(λ)
− 1
, λ ≡
mc
2
k
B
T
.
K
s
(λ)
K
s
(λ) ≡
Z
∞
0
dt exp{−λ cosh t}cosh st .
Èç óðàâíåíèÿ Ãèááñà, ïðåäñòàâëåííîãî â âèäå
                                           Ã        !
                      1 ∂e      1 ∂e  P
                 Ds =      DT +      − 2 Dn ,                          (113)
                      T ∂T      T ∂n n
ñëåäóåò, ÷òî
                                               Ã        !
               ∂s    1 ∂e    ∂s   1 ∂e    P
                  =       ,     =       − 2 .                          (114)
               ∂T    T ∂T    ∂n T ∂n n
Ïîëàãàÿ, ÷òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå êîììóòèðóþò
                          ∂ 2s    ∂ 2s
                               =       ,               (115)
                         ∂T ∂n ∂n∂T
íàõîäèì óñëîâèå, ïðè êîòîðîì Ds ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèà-
ëîì, èëè èíà÷å, óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè:
                        ∂e     ∂P
                           n2
                           +T      =P.                                 (116)
                        ∂n     ∂T
 òåðìèíàõ W ýòî óñëîâèå èìååò âèä:
                           ∂W    ∂P
                       n      +T    =W +P .                            (117)
                           ∂n    ∂T
4.1.1. Èäåàëüíûé ãàç
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ïðèìåð, êîãäà óäåëüíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè
e íå çàâèñòèò îò ïëîòíîñòè ÷èñëà ÷àñòèö n, à ïëîòíîñòü ýíåðãèè
W , ÿâëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ëèíåéíîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ÷èñëà
÷àñòèö W = ne(T ).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (116) äàåò ðåøåíèå
P = f1 (n)T , ãäå f1 (n) - ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Íàèáîëåå èçâåñòíûì
ïðèìåðîì óðàâíåíèÿ äàííîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ
äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî èäåàëüíîãî ãàçà
                                                              
                                                  K3 (λ)              mc2
P = nkB T,     W = ne(T ) ,       e(T ) = kB T λ        − 1 ,    λ≡      .
                                                  K2 (λ)              kB T
                                                                       (118)
Ñèìâîëîì Ks (λ) îáîçíà÷åíû ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêöèè Áåññåëÿ
[8], îïðåäåëåííûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                           Z ∞
                Ks (λ) ≡         dt exp{−λ cosh t} cosh st .           (119)
                            0

                                      31

Страницы