Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∆
θϕ
∆
∆
θϕ
≡
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
!
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
.
Y
mn
(θ, ϕ)
∆
θϕ
Y
mn
(θ, ϕ) = −n(n + 1)Y
mn
(θ, ϕ) ,
n
Y
mn
(θ, ϕ) = P
(m)
n
(cos θ)
C
(1)
m
cos mϕ + C
(2)
m
sin mϕ
P
(m)
n
(cos θ)
U(r, θ, ϕ) =
∞
X
n=0
∞
X
m=0
<
n
(r)Y
mn
(θ, ϕ) ,
<
n
(r)
1
r
2
d
dr
r
2
d
dr
!
<
n
+
k
2
−
n(n + 1)
r
2
<
n
= 0 .
<
n
=
1
√
r
Y
n
(r)
r
2
Y
00
n
(r) + rY
0
n
(r) +
k
2
r
2
−
n +
1
2
!
2
Y
n
= 0 .
k 6= 0
<
n
(r) =
1
√
r
C
(1)
n
J
n+
1
2
(kr) + C
(2)
n
Y
n+
1
2
(kr)
.
k = 0
<
n
(r) =
˜
C
(1)
n
r
n
+
˜
C
(2)
n
r
−(n+1)
.
C
(1)
n
C
(2)
n
˜
C
(1)
n
˜
C
(2)
n
C
(1)
m
C
(2)
m
ãäå ñèìâîëîì ∆θϕ îáîçíà÷åíà óãëîâàÿ ÷àñòü îïåðàòîðà Ëàïëàñà ∆:

                               1 ∂          ∂      1 ∂2
                                                    !
                     ∆θϕ   ≡          sin θ    +            .                       (157)
                             sin θ ∂θ       ∂θ   sin2 θ ∂ϕ2
Íå îñòàíàâëèâàÿñü íà äåòàëÿõ, íàïîìíèì, ÷òî òàê íàçûâàåìûå ñôåðè÷åñêèå
ôóíêöèè Ymn (θ, ϕ) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè äàííîãî îïåðàòîðà,
òî åñòü, óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ

                      ∆θϕ Ymn (θ, ϕ) = −n(n + 1)Ymn (θ, ϕ) ,                        (158)

ãäå n - öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè [4,5]

               Ymn (θ, ϕ) = Pn(m) (cos θ) Cm
                                           (1)           (2)
                                                                                    (159)
                                                                               
                                               cos mϕ + Cm   sin mϕ

âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðèñîåäèíåííûå ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Pn(m) (cos θ). Èñïîëü-
çóÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðåäñòàâèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (155) â
âèäå ñóììû
                                         ∞
                                       ∞ X
                                                                                    (160)
                                       X
                       U (r, θ, ϕ) =

Страницы