Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 2. Условия нормировки
Из предыдущего следствия
c
n
= hΨ
n
|Ψi = hΨ
n
|
X
n
0
c
n
0
Ψ
n
0
(q) +
Z
c(f
0
)Ψ
f
0
(q)df
0
i =
=
X
n
0
c
n
0
hΨ
n
|Ψ
n
0
i +
Z
c(f
0
)hΨ
n
|Ψ
f
0
idf
0
,
c(f) = hΨ
f
|Ψi = hΨ
f
|
X
n
0
c
n
0
Ψ
n
0
(q) +
Z
c(f
0
)Ψ
f
0
(q)df
0
i =
=
X
n
0
c
n
0
hΨ
f
|Ψ
n
0
i +
Z
c(f
0
)hΨ
f
|Ψ
f
0
idf
0
.
Следовательно
hΨ
n
|Ψ
n
0
i = δ
nn
0
,
hΨ
f
|Ψ
f
0
i = δ(f − f
0
),
hΨ
n
|Ψ
f
i = 0.
Следствие 3. Условие полноты
Подставляя в разложение волновой функции Ψ(q) по полному
базису явные выражения для амплитуд, находим
Ψ(q) =
X
n
c
n
Ψ
n
(q) +
Z
c(f)Ψ
f
(q)df =
=
X
n
hΨ
n
|ΨiΨ
n
(q) +
Z
hΨ
f
|ΨiΨ
f
(q)df =
=
Z
Ã
X
n
Ψ
∗
n
(q
0
)Ψ
n
(q) +
Z
Ψ
∗
f
(q
0
)Ψ
f
(q)df
!
Ψ(q
0
)dq
0
.
Отсюда получаем условие полноты базиса
X
n
Ψ
∗
n
(q
0
)Ψ
n
(q) +
Z
Ψ
∗
f
(q
0
)Ψ
f
(q)df = δ(q − q
0
).
17
   Следствие 2. Условия нормировки

   Из предыдущего следствия
                            X              Z
       cn = hΨn |Ψi = hΨn |   cn0 Ψn0 (q) + c(f 0 )Ψf 0 (q)df 0 i =
                                           n0

           X                            Z
       =            c hΨn |Ψ i + c(f 0 )hΨn |Ψf 0 idf 0 ,
                     n0        n0
              n0
                                           X                  Z
      c(f ) = hΨf |Ψi = hΨf |                    cn0 Ψn0 (q) + c(f 0 )Ψf 0 (q)df 0 i =
                                            n0

          X                            Z
      =            cn0 hΨf |Ψn0 i + c(f 0 )hΨf |Ψf 0 idf 0 .
           n0
Следовательно
                                    hΨn |Ψn0 i = δnn0 ,

                                    hΨf |Ψf 0 i = δ(f − f 0 ),

                                    hΨn |Ψf i = 0.

   Следствие 3. Условие полноты

   Подставляя в разложение волновой функции Ψ(q) по полному
базису явные выражения для амплитуд, находим
               X            Z
        Ψ(q) =   cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df =
                          n

              X                     Z
          =          hΨn |ΨiΨn (q) + hΨf |ΨiΨf (q)df =
                n

              Z ÃX                                   Z                       !
          =               Ψ∗n (q0 )Ψn (q)        +       Ψ∗f (q0 )Ψf (q)df       Ψ(q0 )dq0 .
                      n

Отсюда получаем условие полноты базиса
         X                   Z
            Ψ∗n (q0 )Ψn (q) + Ψ∗f (q0 )Ψf (q)df = δ(q − q0 ).
                n

                                                     17

Страницы