Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 4. Средние значения физических величин
Пусть заданы волновая функция Ψ(q) и оператор
ˆ
F , соответ-
ствующий физической величине F . По 1-му следствию c
n
= hΨ
n
|Ψi
и c
f
= hΨ
f
|Ψi – амлитуды вероятности получить f
n
и f в измерении
F , соответственно. Тогда справедливо
hF i =
X
n
f
n
|c
n
|
2
+
Z
f|c(f)|
2
df.
Докажем, что среднее значение hF i определяется также диагональ-
ным матричным элементом
hF i = hΨ|
ˆ
F Ψi ≡ hΨ|
ˆ
F |Ψi.
Действительно,
hΨ|
ˆ
F Ψi = hΨ|
ˆ
F
Ã
X
n
c
n
Ψ
n
+
Z
c(f)Ψ
f
df
!
i =
=
X
n
c
n
hΨ|
ˆ
F Ψ
n
i +
Z
c(f)hΨ|
ˆ
F Ψ
f
idf =
=
X
n
c
n
hΨ|f
n
Ψ
n
i +
Z
c(f)hΨ|fΨ
f
idf =
=
X
n
f
n
c
n
hΨ|Ψ
n
i +
Z
fc(f)hΨ|Ψ
f
idf =
X
n
f
n
c
n
c
∗
n
+
Z
fc(f)c
∗
(f)df,
так как
hΨ|Ψ
n
i ≡ hΨ
n
|Ψi
∗
= c
∗
n
,
hΨ|Ψ
f
i ≡ hΨ
f
|Ψi
∗
= c
∗
(f).
18
     Следствие 4. Средние значения физических величин

    Пусть заданы волновая функция Ψ(q) и оператор F̂ , соответ-
ствующий физической величине F . По 1-му следствию cn = hΨn |Ψi
и cf = hΨf |Ψi – амлитуды вероятности получить fn и f в измерении
F , соответственно. Тогда справедливо
                          X            Z
                   hF i =    fn |cn | + f |c(f )|2 df.
                                     2

                                  n

Докажем, что среднее значение hF i определяется также диагональ-
ным матричным элементом

                           hF i = hΨ|F̂ Ψi ≡ hΨ|F̂ |Ψi.

Действительно,
                    Ã                 Z         !
                     X
 hΨ|F̂ Ψi = hΨ|F̂              cn Ψn + c(f )Ψf df i =
                       n

     X                  Z
 =        cn hΨ|F̂ Ψn i + c(f )hΨ|F̂ Ψf idf =
      n

     X                   Z
 =        cn hΨ|fn Ψn i + c(f )hΨ|f Ψf idf =
      n

     X                     Z                    X                 Z
 =        fn cn hΨ|Ψn i + f c(f )hΨ|Ψf idf =        fn cn c∗n   + f c(f )c∗ (f )df,
      n                                         n

так как
                           hΨ|Ψn i ≡ hΨn |Ψi∗ = c∗n ,

                           hΨ|Ψf i ≡ hΨf |Ψi∗ = c∗ (f ).




                                          18

Страницы