Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Итак, спектр
ˆ
F невырожден:
ˆ
F Ψ
n
(q) = f
n
Ψ
n
(q). Пусть
ˆ
GΨ
n
(q) = Φ
n
(q).
Подействуем на Φ
n
(q) оператором
ˆ
F
ˆ
F Φ
n
(q) =
ˆ
F
ˆ
GΨ
n
(q) =
ˆ
G
ˆ
F Ψ
n
(q) = f
n
ˆ
GΨ
n
(q) = f
n
Φ
n
(q).
Таким образом мы получили, что Φ
n
– собственная функция
ˆ
F , отве-
чающая собственному значению f
n
. В силу невырожденности спек-
тра оператора
ˆ
F имеем
Φ
n
(q) ∼ Ψ
n
(q),
то есть
ˆ
GΨ
n
(q) = Φ
n
(q) ∼ Ψ
n
(q) ⇔
ˆ
GΨ
n
(q) = g
n
Ψ
n
(q).
Что и требовалось доказать.
Общий случай оператора
ˆ
F будет рассмотрен позже.
Следствие. Если [
ˆ
F ,
ˆ
G] 6= 0, то F и G не являются одновременно
измеримыми величинами.
Замечание. Пусть спектр оператора
ˆ
F вырожден, т.е. одному
собственному значению f отвечают сразу несколько собственных
функций. Другими словами, квантовое число f не определяет одно-
значно квантовое состояние системы. В этом случае всегда существу-
ют взаимно коммутирующие операторы
ˆ
G
1
,
ˆ
G
2
. . . (в частном случае,
один оператор
ˆ
G) , коммутирующие с
ˆ
F . Любая собственная функ-
ция Ψ
fg
1
g
2
...
(q) этих операторов характеризуется определенным на-
бором квантовых чисел f, g
1
, g
2
. . ., которые однозначно фиксируют
квантовое состояние. Набор коммутирующих операторов, собствен-
ные значения которых однозначно определяют квантовое состояние
системы, называется полным набором.
Соотношение неопределенностей
Пусть
ˆ
F и
ˆ
G – операторы физических величин F и G (т.е.
ˆ
F
+
+ =
ˆ
F и
ˆ
G
+
=
ˆ
G), и [
ˆ
F ,
ˆ
G] = i
ˆ
K, где
ˆ
K
+
=
ˆ
K. Докажем, что в
20
   Итак, спектр F̂ невырожден: F̂ Ψn (q) = fn Ψn (q). Пусть

                            ĜΨn (q) = Φn (q).

Подействуем на Φn (q) оператором F̂

      F̂ Φn (q) = F̂ ĜΨn (q) = ĜF̂ Ψn (q) = fn ĜΨn (q) = fn Φn (q).

Таким образом мы получили, что Φn – собственная функция F̂ , отве-
чающая собственному значению fn . В силу невырожденности спек-
тра оператора F̂ имеем

                             Φn (q) ∼ Ψn (q),

то есть

          ĜΨn (q) = Φn (q) ∼ Ψn (q)        ⇔   ĜΨn (q) = gn Ψn (q).

Что и требовалось доказать.
  Общий случай оператора F̂ будет рассмотрен позже.

   Следствие. Если [F̂ , Ĝ] 6= 0, то F и G не являются одновременно
измеримыми величинами.

   Замечание. Пусть спектр оператора F̂ вырожден, т.е. одному
собственному значению f отвечают сразу несколько собственных
функций. Другими словами, квантовое число f не определяет одно-
значно квантовое состояние системы. В этом случае всегда существу-
ют взаимно коммутирующие операторы Ĝ1 , Ĝ2 . . . (в частном случае,
один оператор Ĝ) , коммутирующие с F̂ . Любая собственная функ-
ция Ψf g1 g2 ... (q) этих операторов характеризуется определенным на-
бором квантовых чисел f, g1 , g2 . . ., которые однозначно фиксируют
квантовое состояние. Набор коммутирующих операторов, собствен-
ные значения которых однозначно определяют квантовое состояние
системы, называется полным набором.

   Соотношение неопределенностей

  Пусть F̂ и Ĝ – операторы физических величин F и G (т.е. F̂ +
+ = F̂ и Ĝ+ = Ĝ), и [F̂ , Ĝ] = iK̂, где K̂ + = K̂. Докажем, что в


                                       20

Страницы