Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

По определению, h(∆F )
2
i = hΨ|(∆
ˆ
F )
2
Ψi. Аналогично для оператора
∆
ˆ
G =
ˆ
G − hGi:
h∆Gi = hΨ|(
ˆ
G − hGi)Ψi = hΨ|
ˆ
GΨi − hGihΨ|Ψi = hGi − hGi × 1 = 0,
(∆
ˆ
G)
+
= (
ˆ
G − hGi)
+
=
ˆ
G − hGi = ∆
ˆ
G,
h(∆G)
2
i = hΨ|(∆
ˆ
G)
2
Ψi.
При этом справедливо
[∆
ˆ
F , ∆
ˆ
G] = i
ˆ
K.
Рассмотрим новый оператор z∆
ˆ
F + i∆
ˆ
G, где z – произвольное
действительное число. Тогда
h(z∆
ˆ
F + i∆
ˆ
G)Ψ|(z∆
ˆ
F + i∆
ˆ
G)Ψi = f(z) > 0.
С другой стороны
f(z) = hΨ|(z∆
ˆ
F + i∆
ˆ
G)
+
(z∆
ˆ
F + i∆
ˆ
G)Ψi =
= hΨ|(z∆
ˆ
F − i∆
ˆ
G)(z∆
ˆ
F + i∆
ˆ
G)Ψi =
= z
2
h(∆F )
2
i + h(∆G)
2
i + izhΨ|(∆
ˆ
F ∆
ˆ
G − ∆
ˆ
G∆
ˆ
F )Ψi =
= z
2
h(∆F )
2
i + h(∆G)
2
i + izhΨ|i
ˆ
KΨi =
= z
2
h(∆F )
2
i + h(∆G)
2
i − zhKi.
Но так как
f(z) = z
2
h(∆F )
2
i − zhKi + h(∆G)
2
i > 0, ∀z,
то должно быть выполненно
hKi
2
− 4h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i 6 0,
или
h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i >
hKi
2
4
.
22
По определению, h(∆F )2 i = hΨ|(∆F̂ )2 Ψi. Аналогично для оператора
∆Ĝ = Ĝ − hGi:

 h∆Gi = hΨ|(Ĝ − hGi)Ψi = hΨ|ĜΨi − hGihΨ|Ψi = hGi − hGi × 1 = 0,

 (∆Ĝ)+ = (Ĝ − hGi)+ = Ĝ − hGi = ∆Ĝ,

 h(∆G)2 i = hΨ|(∆Ĝ)2 Ψi.

При этом справедливо

                             [∆F̂ , ∆Ĝ] = iK̂.

   Рассмотрим новый оператор z∆F̂ + i∆Ĝ, где z – произвольное
действительное число. Тогда

             h(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψ|(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi = f (z) > 0.

С другой стороны

       f (z) = hΨ|(z∆F̂ + i∆Ĝ)+ (z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi =

       = hΨ|(z∆F̂ − i∆Ĝ)(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi =

       = z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i + izhΨ|(∆F̂ ∆Ĝ − ∆Ĝ∆F̂ )Ψi =

       = z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i + izhΨ|iK̂Ψi =

       = z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i − zhKi.

Но так как

             f (z) = z 2 h(∆F )2 i − zhKi + h(∆G)2 i > 0,   ∀z,

то должно быть выполненно

                      hKi2 − 4h(∆F )2 ih(∆G)2 i 6 0,

или
                                              hKi2
                        h(∆F )2 ih(∆G)2 i >        .
                                               4
                                     22

Страницы