Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Дифференцируя по t условие нормировки
Z
Ψ
∗
(q, t)Ψ(q, t)dq = 1,
получаем серию равенств
Z
∂Ψ
∗
∂t
Ψdq +
Z
Ψ
∗
∂Ψ
∂t
dq = 0,
Z
µ
i
~
(
ˆ
HΨ)
∗
Ψdq −
Z
Ψ
∗
µ
i
~
(
ˆ
HΨ)
dq = 0,
i
~
h
ˆ
HΨ |Ψi −
i
~
hΨ|
ˆ
HΨ i = 0,
h
ˆ
HΨ|Ψi = hΨ|
ˆ
HΨi.
Приходим к выводу, что
ˆ
H – эрмитовый оператор. Значит
ˆ
H – опе-
ратор некоторой физической величины.
Установим вид оператора
ˆ
H. Для этого рассмотрим волну де
Бройля
Ψ
p
(x, t) =
1
√
2π~
e
i
px−Et
~
.
Подставляя ее в левую часть написанного нами общего уравнения,
получаем
i~
∂Ψ
p
(x, t)
∂t
= i~
µ
−
iE
~
Ψ
p
(x, t) = EΨ
p
(x, t).
С другой стороны, волна де Бройля – это собственная функция опе-
ратора ˆp = −i~
d
dx
, то есть
ˆpΨ
p
(x, t) = pΨ
p
(x, t), ˆp
2
Ψ
p
(x, t) = p
2
Ψ
p
(x, t), . . .
В нерелятивистском случае E =
p
2
2m
. Следовательно,
i~
∂Ψ
p
(x, t)
∂t
=
ˆp
2
2m
Ψ
p
(x, t),
то есть в данном случае
ˆ
H =
ˆp
2
2m
– оператор кинетической энергии.
24
   Дифференцируя по t условие нормировки
                   Z
                     Ψ∗ (q, t)Ψ(q, t)dq = 1,

получаем серию равенств
            Z            Z
              ∂Ψ∗           ∂Ψ
                   Ψdq + Ψ∗      dq = 0,
               ∂t            ∂t
            Zµ          ¶       Z    µ        ¶
                i                      i
                  (ĤΨ)∗ Ψdq − Ψ∗        (ĤΨ) dq = 0,
                ~                      ~

             i          i
               hĤΨ|Ψi − hΨ|ĤΨi = 0,
             ~          ~

             hĤΨ|Ψi = hΨ|ĤΨi.

Приходим к выводу, что Ĥ – эрмитовый оператор. Значит Ĥ – опе-
ратор некоторой физической величины.
   Установим вид оператора Ĥ. Для этого рассмотрим волну де
Бройля
                                    1      px−Et
                      Ψp (x, t) = √     ei ~ .
                                    2π~
Подставляя ее в левую часть написанного нами общего уравнения,
получаем
                             µ      ¶
             ∂Ψp (x, t)          iE
          i~            = i~ −        Ψp (x, t) = EΨp (x, t).
                ∂t                ~
С другой стороны, волна де Бройля – это собственная функция опе-
                d
ратора p̂ = −i~ , то есть
               dx
       p̂Ψp (x, t) = pΨp (x, t),    p̂2 Ψp (x, t) = p2 Ψp (x, t),   ...
                                      p2
В нерелятивистском случае E =            . Следовательно,
                                      2m
                           ∂Ψp (x, t)   p̂2
                      i~              =     Ψp (x, t),
                              ∂t        2m
                                   p̂2
то есть в данном случае Ĥ =           – оператор кинетической энергии.
                                   2m
                                      24

Страницы