Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Разделяя переменные, находим
i~
˙
A(t)
A(t)
=
ˆ
Hψ(q)
ψ(q)
= E,
где E – некоторая константа. Решение для A(t) имеет вид
A(t) = Ce
−
iE t
~
.
Задача
ˆ
Hψ(q) = Eψ(q)
есть задача на собственные функции оператора
ˆ
H. Решением яв-
ляются собственные функции оператора
ˆ
H. Согласно постулату III
измерение энергии в состоянии с волновой функцией ψ(q) с вероят-
ностью 1 дает величину E.
Уравнение Шредингера имеет частные решения
Ψ
E
(q, t) = ψ
E
(q)e
−i
E t
~
,
ˆ
Hψ
E
(q) = Eψ
E
(q).
Каждое такое решение Ψ
E
– это волновая функция состояния с опре-
деленной энергией E. Уравнение
ˆ
Hψ(q) = Eψ(q)
называется стационарным уравнением Шредингера. В данном слу-
чае плотность вероятности
ρ(q, t) = |ψ(q, t)|
2
= |ψ(q)|
2
не зависит от t. Поэтому Ψ(q, t) называют волновой функцией ста-
ционарного состояния.
Общее решение уравнения Шредингера
В общем случае спектр
ˆ
H имеет дискретную и непрерывную ча-
сти:
ˆ
Hψ
n
= E
n
ψ
n
,
ˆ
Hψ
E
= Eψ
E
.
Тогда вид общего решения уравнения Шредингера таков
Ψ(q, t) =
X
n
c
n
ψ
n
(q)e
−i
E
n
t
~
+
Z
c(E)ψ
E
(q)e
−i
Et
~
dE.
26
Разделяя переменные, находим

                       i~Ȧ(t)   Ĥψ(q)
                               =        = E,
                        A(t)      ψ(q)

где E – некоторая константа. Решение для A(t) имеет вид
                                            iEt
                          A(t) = Ce−         ~    .

Задача
                          Ĥψ(q) = Eψ(q)
есть задача на собственные функции оператора Ĥ. Решением яв-
ляются собственные функции оператора Ĥ. Согласно постулату III
измерение энергии в состоянии с волновой функцией ψ(q) с вероят-
ностью 1 дает величину E.
   Уравнение Шредингера имеет частные решения
                                   Et
           ΨE (q, t) = ψE (q)e−i   ~    ,   ĤψE (q) = EψE (q).

Каждое такое решение ΨE – это волновая функция состояния с опре-
деленной энергией E. Уравнение

                          Ĥψ(q) = Eψ(q)

называется стационарным уравнением Шредингера. В данном слу-
чае плотность вероятности

                   ρ(q, t) = |ψ(q, t)|2 = |ψ(q)|2

не зависит от t. Поэтому Ψ(q, t) называют волновой функцией ста-
ционарного состояния.

   Общее решение уравнения Шредингера

   В общем случае спектр Ĥ имеет дискретную и непрерывную ча-
сти:
                 Ĥψn = En ψn , ĤψE = EψE .
Тогда вид общего решения уравнения Шредингера таков
                  X                  Z
                                En t              Et
        Ψ(q, t) =   cn ψn (q)e−i ~ + c(E)ψE (q)e−i ~ dE.
                   n

                                    26

Страницы