Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Если движение происходит в потенциальном поле U(x), то есте-
ственно предположить, что
ˆ
H =
ˆp
2
2m
+ U(ˆx)
есть оператор полной энергии. В общем случае в классической тео-
рии функция Гамильтона H = H(p, q, t) – это полная энергия, вы-
раженая через координаты и импульсы. Оператор
ˆ
H =
ˆ
p
2
2m
+ U(
ˆ
q)
называется оператором полной энергии или оператором Гамильтона
(гамильтонианом).
В общем случае динамика квантовой системы полностью опреде-
ляется уравнением Шредингера с начальным условием:
i~
∂Ψ(q, t)
∂t
=
ˆ
HΨ(q, t),
Ψ(q, 0) = Ψ
0
(q).
Условие на Ψ
0
(q)
Z
|Ψ
0
(q)|
2
dq = 1
задает нормировку Ψ(q, t) для всех t.
Замечание. Уравнение Шредингера можно постулировать (счи-
тать пятым постулатом).
Стационарные состояния
Если
ˆ
H не зависит явно от t, то можно искать решение в виде
Ψ(q, t) = ψ(q)A(t).
Подстановка в уравнение Шредингера дает
i~ ψ(q)
dA(t)
dt
= A(t)
ˆ
Hψ(q).
25
   Если движение происходит в потенциальном поле U (x), то есте-
ственно предположить, что

                                  p̂2
                         Ĥ =         + U (x̂)
                                  2m
есть оператор полной энергии. В общем случае в классической тео-
рии функция Гамильтона H = H(p, q, t) – это полная энергия, вы-
раженая через координаты и импульсы. Оператор

                                  p̂2
                         Ĥ =         + U (q̂)
                                  2m
называется оператором полной энергии или оператором Гамильтона
(гамильтонианом).
   В общем случае динамика квантовой системы полностью опреде-
ляется уравнением Шредингера с начальным условием:
                   
                       ∂Ψ(q, t)
                    i~          = ĤΨ(q, t),
                          ∂t
                   
                   
                     Ψ(q, 0) = Ψ0 (q).

Условие на Ψ0 (q)        Z
                              |Ψ0 (q)|2 dq = 1

задает нормировку Ψ(q, t) для всех t.

   Замечание. Уравнение Шредингера можно постулировать (счи-
тать пятым постулатом).

   Стационарные состояния

   Если Ĥ не зависит явно от t, то можно искать решение в виде

                       Ψ(q, t) = ψ(q)A(t).

Подстановка в уравнение Шредингера дает

                              dA(t)
                    i~ ψ(q)         = A(t)Ĥψ(q).
                               dt

                                    25

Страницы