Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство закончено.
Пример:
ˆ
F = ˆx = x,
ˆ
G = ˆp
x
= −i~
∂
∂x
.
Вычислим коммутатор:
[ˆx, ˆp
x
]Ψ(x) = x
µ
−i~
d
dx
Ψ(x) −
µ
−i~
d
dx
xΨ(x) = i~Ψ(x) ⇒
ˆ
K = ~.
Тогда соотношение неопределенностей имеет вид
h(∆x)
2
ih(∆p
x
)
2
i >
~
2
4
.
Определение: Если Ψ
0
(x) — волновая функция состояния, в ко-
тором
h(∆x)
2
ih(∆p
x
)
2
i =
~
2
4
,
то Ψ
0
– волновая функция когерентного состояния.
Лекция №5. Квантовая динамика
Уравнение Шредингера
Попробуем найти общий вид динамического уравнения для вол-
новой функции Ψ(q, t). В соответствии с постулатом I система пол-
ностью описывается волновой функцией Ψ(q, t). В частности, вол-
новая функция в момент t определяет состояние системы во все по-
следующие моменты времени. Это означает, что искомое уравнение
может содержать производные Ψ(q, t) по t не старше первой. Сле-
довательно уравнение должно иметь вид
i~
∂Ψ(q, t)
∂t
=
ˆ
HΨ(q, t),
∂Ψ(q, t)
∂t
= −
i
~
ˆ
HΨ(q, t).
Левая часть линейна, поэтому линейна и правая часть (иначе нару-
шался бы принцип суперпозиции - постулат II). Следовательно
ˆ
H –
линейный оператор.
23
Доказательство закончено.
  Пример:            
                      F̂ = x̂ = x,
                     

                          
                           Ĝ = p̂ = −i~ ∂ .
                                   x
                                          ∂x
Вычислим коммутатор:
                  µ       ¶        µ       ¶
                        d               d
[x̂, pˆx ]Ψ(x) = x −i~      Ψ(x) − −i~       xΨ(x) = i~Ψ(x) ⇒ K̂ = ~.
                       dx              dx
Тогда соотношение неопределенностей имеет вид

                                                ~2
                         h(∆x)2 ih(∆px )2 i >      .
                                                4
   Определение: Если Ψ0 (x) — волновая функция состояния, в ко-
тором
                                          ~2
                     h(∆x)2 ih(∆px )2 i =    ,
                                          4
то Ψ0 – волновая функция когерентного состояния.


Лекция №5. Квантовая динамика

   Уравнение Шредингера

   Попробуем найти общий вид динамического уравнения для вол-
новой функции Ψ(q, t). В соответствии с постулатом I система пол-
ностью описывается волновой функцией Ψ(q, t). В частности, вол-
новая функция в момент t определяет состояние системы во все по-
следующие моменты времени. Это означает, что искомое уравнение
может содержать производные Ψ(q, t) по t не старше первой. Сле-
довательно уравнение должно иметь вид
              ∂Ψ(q, t)                 ∂Ψ(q, t)    i
         i~            = ĤΨ(q, t),             = − ĤΨ(q, t).
                ∂t                       ∂t        ~
Левая часть линейна, поэтому линейна и правая часть (иначе нару-
шался бы принцип суперпозиции - постулат II). Следовательно Ĥ –
линейный оператор.
                                      23

Страницы