Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

любом квантовом состоянии выполняется следующее соотношение
(соотношение неопределенностей):
h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i >
hKi
2
4
.
Доказательство:
Разобьем доказательство на три части.
а) Покажем, что (
ˆ
F
ˆ
G)
+
=
ˆ
G
+
ˆ
F
+
. Действительно,
hΨ|
ˆ
F
ˆ
GΦi = h(
ˆ
F
ˆ
G)
+
Ψ|Φi,
hΨ|
ˆ
F
ˆ
GΦi = h
ˆ
F
+
Ψ|
ˆ
GΦi = h
ˆ
G
+
ˆ
F
+
Ψ|Φi.
Отсюда и следует то, что требовалось показать.
б) Покажем, что коммутатор [
ˆ
F ,
ˆ
G] представим в виде
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = i
ˆ
K,
где
ˆ
K – эрмитовый оператор (
ˆ
K
+
=
ˆ
K).
Легко видеть, что i
+
= −i. Это следует из цепочки равенств
hi
+
Ψ|Φi = hΨ|iΦi = h(−i)Ψ|Φi.
Тогда из того, что
[
ˆ
F ,
ˆ
G]
+
= (
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F )
+
= (
ˆ
G
+
ˆ
F
+
−
ˆ
F
+
ˆ
G
+
) =
= (
ˆ
G
ˆ
F −
ˆ
F
ˆ
G) = −(
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F ) = −[
ˆ
F ,
ˆ
G],
следует
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = i
ˆ
K,
где
ˆ
K
+
=
ˆ
K.
в) Докажем соотношение неопределенностей.
Рассмотрим оператор отклонения от среднего ∆
ˆ
F =
ˆ
F −hF i. Для
него имеем
h∆F i = hΨ|(
ˆ
F − hF i)Ψi = hΨ|
ˆ
F Ψi − hF ihΨ|Ψi = hF i − hF i × 1 = 0,
(∆
ˆ
F )
+
= (
ˆ
F − hF i)
+
=
ˆ
F − hF i = ∆
ˆ
F .
21
любом квантовом состоянии выполняется следующее соотношение
(соотношение неопределенностей):

                                                   hKi2
                        h(∆F )2 ih(∆G)2 i >             .
                                                    4
   Доказательство:
   Разобьем доказательство на три части.
   а) Покажем, что (F̂ Ĝ)+ = Ĝ+ F̂ + . Действительно,

                hΨ|F̂ ĜΦi = h(F̂ Ĝ)+ Ψ|Φi,

                hΨ|F̂ ĜΦi = hF̂ + Ψ|ĜΦi = hĜ+ F̂ + Ψ|Φi.

Отсюда и следует то, что требовалось показать.
   б) Покажем, что коммутатор [F̂ , Ĝ] представим в виде

                                [F̂ , Ĝ] = iK̂,

где K̂ – эрмитовый оператор (K̂ + = K̂).
   Легко видеть, что i+ = −i. Это следует из цепочки равенств

                     hi+ Ψ|Φi = hΨ|iΦi = h(−i)Ψ|Φi.

Тогда из того, что

            [F̂ , Ĝ]+ = (F̂ Ĝ − ĜF̂ )+ = (Ĝ+ F̂ + − F̂ + Ĝ+ ) =

            = (ĜF̂ − F̂ Ĝ) = −(F̂ Ĝ − ĜF̂ ) = −[F̂ , Ĝ],
следует
                                [F̂ , Ĝ] = iK̂,
      +
где K̂ = K̂.
   в) Докажем соотношение неопределенностей.
   Рассмотрим оператор отклонения от среднего ∆F̂ = F̂ −hF i. Для
него имеем

 h∆F i = hΨ|(F̂ − hF i)Ψi = hΨ|F̂ Ψi − hF ihΨ|Ψi = hF i − hF i × 1 = 0,

 (∆F̂ )+ = (F̂ − hF i)+ = F̂ − hF i = ∆F̂ .


                                      21

Страницы