Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лекция №4. Одновременная измеримость
физических величин
Одновременно измеримые величины
Определение: Физические величины F и G одновременно изме-
римы, если
ˆ
F и
ˆ
G обладают общей системой собственных функций.
То есть
ˆ
F Ψ
n
(q) = f
n
Ψ
n
(q),
ˆ
GΨ
n
(q) = g
n
Ψ
n
(q).
Для простоты будем рассматривать только дискретные спектры.
Определение: Коммутатором двух физических величин назы-
вается оператор
[
ˆ
F ,
ˆ
G] ≡
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F .
Утверждение: Если F и G одновременно измеримы, то [
ˆ
F ,
ˆ
G] =
= 0, то есть
ˆ
F
ˆ
G =
ˆ
G
ˆ
F , или
ˆ
F
ˆ
GΨ(q) =
ˆ
G
ˆ
F Ψ(q), ∀Ψ(q).
Доказательство:
Так как Ψ
n
(q) — полный базис, то Ψ(q) =
X
n
c
n
Ψ
n
(q). Тогда
ˆ
F
ˆ
GΨ =
ˆ
F
ˆ
G
X
n
c
n
Ψ
n
=
ˆ
F
X
n
c
n
g
n
Ψ
n
=
X
n
c
n
g
n
f
n
, Ψ
n
ˆ
G
ˆ
F Ψ =
ˆ
G
ˆ
F
X
n
c
n
Ψ
n
=
ˆ
G
X
n
c
n
f
n
Ψ
n
=
X
n
c
n
f
n
g
n
Ψ
n
.
Следовательно
ˆ
F
ˆ
G =
ˆ
G
ˆ
F . Утверждение доказано.
Обратное утверждение также верно.
Утверждение: Если [
ˆ
F ,
ˆ
G] = 0, то F и G одновременно измери-
мы.
Доказательство:
Проведем доказательство для частного случая, когда один из опе-
раторов, например F , имеет невырожденый спектр, т.е. каждому соб-
ственному значению f отвечает только одна собственная функция
Ψ
f
(q).
19
Лекция №4. Одновременная измеримость
           физических величин

   Одновременно измеримые величины

   Определение: Физические величины F и G одновременно изме-
римы, если F̂ и Ĝ обладают общей системой собственных функций.
То есть
             F̂ Ψn (q) = fn Ψn (q), ĜΨn (q) = gn Ψn (q).
Для простоты будем рассматривать только дискретные спектры.

   Определение: Коммутатором двух физических величин назы-
вается оператор
                   [F̂ , Ĝ] ≡ F̂ Ĝ − ĜF̂ .


   Утверждение: Если F и G одновременно измеримы, то [F̂ , Ĝ] =
= 0, то есть F̂ Ĝ = ĜF̂ , или
                        F̂ ĜΨ(q) = ĜF̂ Ψ(q),     ∀Ψ(q).
   Доказательство:                          X
   Так как Ψn (q) — полный базис, то Ψ(q) =   cn Ψn (q). Тогда
                                                           n
                        X                X                 X
       F̂ ĜΨ = F̂ Ĝ       cn Ψn = F̂        cn gn Ψn =       cn gn fn , Ψn
                        n                n                 n

                        X                X                 X
       ĜF̂ Ψ = ĜF̂        cn Ψn = Ĝ        cn fn Ψn =       cn fn gn Ψn .
                        n                n                 n

Следовательно F̂ Ĝ = ĜF̂ . Утверждение доказано.
    Обратное утверждение также верно.
    Утверждение: Если [F̂ , Ĝ] = 0, то F и G одновременно измери-
мы.
    Доказательство:
    Проведем доказательство для частного случая, когда один из опе-
раторов, например F , имеет невырожденый спектр, т.е. каждому соб-
ственному значению f отвечает только одна собственная функция
Ψf (q).
                                         19

Страницы