Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Докажем это.
Пусть мы ищем Ψ(q, t) с начальным условием
Ψ(q, 0) = Ψ
0
(q).
Разложим Ψ
0
(q) по полному базису, составленному из собственных
функций оператора Гамильтона,
Ψ
0
(q) =
X
n
c
n
ψ
n
(q) +
Z
c(E)ψ
E
(q)dE,
c
n
= hψ
n
|Ψ
0
i, c(E) = hψ
E
|Ψ
0
i.
Воспользовавшись этими амплитудами, построим решение следую-
щего вида
Ψ(q, t) =
X
n
c
n
ψ
n
(q)e
−i
E
n
t
~
+
Z
c(E)ψ
E
(q)e
−i
Et
~
dE.
Это и есть искомое решение, так как
Ψ(q, 0) = Ψ
0
(q).
Замечание. Если оператор
ˆ
H вырожден, то следует позаботить-
ся о построении полного набора операторов (включающего в себя
ˆ
H) данной физической системы. Собственные функции этого набо-
ра операторов формируют полный базис. Общее решение уравнения
Шредингера, записанное выше, представляет собой разложение по
этому базису. То есть индексы n и E, по которым ведется суммиро-
вание и интегрирование, нужно понимать как наборы квантовых чи-
сел (включающих в себя энергию), однозначно определяющих кван-
товые состояния системы.
Пример: одномерное свободное движение. В данном случае
ˆ
H =
ˆp
2
2m
, ˆp = −i~
d
dx
.
Уравнение Шредингера с начальным условием:
i~
∂Ψ(x, t)
∂t
=
ˆ
HΨ(x, t),
Ψ(x, 0) = Ψ
0
(x).
27
Докажем это.
  Пусть мы ищем Ψ(q, t) с начальным условием
                            Ψ(q, 0) = Ψ0 (q).
Разложим Ψ0 (q) по полному базису, составленному из собственных
функций оператора Гамильтона,
                      X             Z
             Ψ0 (q) =    cn ψn (q) + c(E)ψE (q)dE,
                        n


              cn = hψn |Ψ0 i,    c(E) = hψE |Ψ0 i.
Воспользовавшись этими амплитудами, построим решение следую-
щего вида
                  X                  Z
                                En t              Et
        Ψ(q, t) =   cn ψn (q)e−i ~ + c(E)ψE (q)e−i ~ dE.
                  n

Это и есть искомое решение, так как
                            Ψ(q, 0) = Ψ0 (q).
    Замечание. Если оператор Ĥ вырожден, то следует позаботить-
ся о построении полного набора операторов (включающего в себя
Ĥ) данной физической системы. Собственные функции этого набо-
ра операторов формируют полный базис. Общее решение уравнения
Шредингера, записанное выше, представляет собой разложение по
этому базису. То есть индексы n и E, по которым ведется суммиро-
вание и интегрирование, нужно понимать как наборы квантовых чи-
сел (включающих в себя энергию), однозначно определяющих кван-
товые состояния системы.

   Пример: одномерное свободное движение. В данном случае
                              p̂2                  d
                      Ĥ =        ,    p̂ = −i~      .
                              2m                  dx
Уравнение Шредингера с начальным условием:
                 
                     ∂Ψ(x, t)
                  i~          = ĤΨ(x, t),
                         ∂t
                 
                 
                    Ψ(x, 0) = Ψ0 (x).
                                      27

Страницы