Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ищем решения стационарного уравнения Шредингера
ˆ
Hψ(x) = Eψ(x), E =
p
2
2m
.
Так как
ˆ
H и ˆp коммутируют ([
ˆ
H, ˆp] = 0), то
ˆ
H и ˆp имеют общую
систему собственных функций. Легко проверить, что собственные
функции оператора ˆp
ψ
p
(x) =
1
√
2π~
e
i
px
~
являются собственными функциями оператора
ˆ
H. Следовательно
функции ψ
p
(x) являются решениями стационарного уравнения Шре-
дингера. Тогда частные решения уравнения Шредингера – это вол-
новые функции стационарных состояний
Ψ
p
(x, t) = ψ
p
(x)e
−i
Et
~
=
1
√
2π~
e
i
px−E t
~
.
Это и есть волны де Бройля.
Общее решение – суперпозиция частных решений:
Ψ(x, t) =
Z
C(p)Ψ
p
(x, t)dp.
Таким образом, волновая функция свободной частицы есть не что
иное, как волновой пакет.
Зависимость физических величин от времени
В общем случае оператор физической величины может явно за-
висеть от времени:
ˆ
F =
ˆ
F (t). Пусть
∂
ˆ
F (t)
∂t
– производная по явной
зависимости оператора от t. Среднее значение физической величины
F в общем случае также зависит от t:
hF i = hΨ(t)|
ˆ
F (t)|Ψ(t)i.
Найдем производную hF i по t, пользуясь тем, что
∂Ψ
∂t
= −
i
~
ˆ
HΨ.
28
   Ищем решения стационарного уравнения Шредингера

                                                   p2
                    Ĥψ(x) = Eψ(x),         E=        .
                                                   2m

Так как Ĥ и p̂ коммутируют ([Ĥ, p̂] = 0), то Ĥ и p̂ имеют общую
систему собственных функций. Легко проверить, что собственные
функции оператора p̂
                                        1     px
                         ψp (x) = √         ei ~
                                        2π~

являются собственными функциями оператора Ĥ. Следовательно
функции ψp (x) являются решениями стационарного уравнения Шре-
дингера. Тогда частные решения уравнения Шредингера – это вол-
новые функции стационарных состояний
                                       Et        1     px−Et
               Ψp (x, t) = ψp (x)e−i   ~    =√       ei ~ .
                                                 2π~
Это и есть волны де Бройля.
   Общее решение – суперпозиция частных решений:
                             Z
                    Ψ(x, t) = C(p)Ψp (x, t)dp.

Таким образом, волновая функция свободной частицы есть не что
иное, как волновой пакет.

   Зависимость физических величин от времени

   В общем случае оператор физической величины может явно за-
                                      ∂ F̂ (t)
висеть от времени: F̂ = F̂ (t). Пусть          – производная по явной
                                         ∂t
зависимости оператора от t. Среднее значение физической величины
F в общем случае также зависит от t:

                       hF i = hΨ(t)|F̂ (t)|Ψ(t)i.

Найдем производную hF i по t, пользуясь тем, что
                            ∂Ψ    i
                               = − ĤΨ.
                            ∂t    ~
                                   28

Страницы