Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Для этого рассмотрим
[U(x), ˆp]f(x) = −i~ U(x)f
0
(x) + i~(U
0
(x)f(x) + U(x)f
0
(x)) =
= i~ U
0
(x)f(x).
Следовательно
[U(x), ˆp] = i~U
0
(x).
Мы получаем, что
dˆp
dt
=
i
~
[
ˆ
H, ˆp] =
i
~
(i~
dU
dx
) = −
dU
dx
.
4. Аналогично найдем
dˆx
dt
. В данном случае
i
~
[
ˆ
H, x] =
i
2m~
[ˆp
2
, x].
Вычислим коммутатор [ˆp
2
, x] либо непосредственно
[ˆp
2
, x]f(x) = −~
2
[
d
2
dx
2
, x]f(x) = −~
2
(2f
0
(x) + xf
00
(x) − xf
00
(x)) =
= −2~
2
f
0
(x) = −2i~
µ
−i~
d
dx
f(x) = −2i~ˆpf(x),
либо через вспомогательное соотношение
[ˆp
2
, x] = ˆp[ˆp, x] + [ˆp, x]ˆp = −2i~ ˆp.
Тогда для искомой производной получаем
dˆx
dt
=
i
~
[
ˆ
H, x] =
i
2m~
[ˆp
2
, x] =
i
2m~
(−2i~ˆp) =
ˆp
m
,
то есть
dˆx
dt
=
ˆp
m
.
30
Для этого рассмотрим

    [U (x), p̂]f (x) = −i~ U (x)f 0 (x) + i~(U 0 (x)f (x) + U (x)f 0 (x)) =

    = i~ U 0 (x)f (x).

Следовательно
                             [U (x), p̂] = i~U 0 (x).
Мы получаем, что
                     dp̂  i          i    dU     dU
                         = [Ĥ, p̂] = (i~    )=−    .
                     dt   ~          ~    dx     dx
                                dx̂
   4. Аналогично найдем             . В данном случае
                                dt
                            i            i
                              [Ĥ, x] =     [p̂2 , x].
                            ~           2m~
Вычислим коммутатор [p̂2 , x] либо непосредственно

                   d2
  [p̂2 , x]f (x) = −~2 [
                      , x]f (x) = −~2 (2f 0 (x) + xf 00 (x) − xf 00 (x)) =
                  dx2
                     µ        ¶
       2 0                  d
  = −2~ f (x) = −2i~ −i~        f (x) = −2i~p̂f (x),
                           dx

либо через вспомогательное соотношение

                     [p̂2 , x] = p̂[p̂, x] + [p̂, x]p̂ = −2i~p̂.

Тогда для искомой производной получаем
            dx̂  i           i               i            p̂
                = [Ĥ, x] =     [p̂2 , x] =     (−2i~p̂) = ,
            dt   ~          2m~             2m~           m
то есть
                                     dx̂  p̂
                                         = .
                                     dt   m




                                         30

Страницы