Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лекция №6. Связь квантовой механики с
классической. Линейный осциллятор
Теорема Эренфеста
Операторы
dˆx
dt
и
dˆp
dt
определяют скорости изменения средних зна-
чений координаты hxi и импульса hpi, соответственно. Воспользовав-
шись соотношениями, полученными на прошлой лекции, получаем
dhxi
dt
= hΨ|
dˆx
dt
|Ψi = hΨ|
ˆp
m
|Ψi =
hpi
m
,
dhpi
dt
= hΨ|
dˆp
dt
|Ψi = −hΨ|
dU
dx
|Ψi ≡ −
Z
dU
dx
|Ψ|
2
dx = −h
dU
dx
i.
Следовательно
m
d
2
hxi
dt
2
= −h
dU
dx
i.
Пусть ∆x – размер области локализации частицы (размер обла-
сти, где плотность вероятности |Ψ|
2
существенно отлична от нуля).
Если
dU
dx
слабо меняется в этой области (т.е. ∆x ¿ L, где L – размер
области существенного изменения
dU
dx
), то
h
dU
dx
i '
dU
dx
¯
¯
¯
¯
x'hxi
.
В этом случае движение области локализации частицы определяется
вторым законом Ньютона
m
d
2
hxi
dt
2
' −
dU
dx
¯
¯
¯
¯
x'hxi
.
Мы показали, что в пределе ∆x ¿ L классическая динамика выво-
дится из квантовой динамики. Это утверждение называется теоре-
мой Эренфеста.
Замечание. Пусть L – масштаб неоднородности потенциала
U(x) (и его производной); частица движется в области размера ∼ L,
31
Лекция №6. Связь квантовой механики с
           классической. Линейный осциллятор

   Теорема Эренфеста
              dx̂ dp̂
   Операторы     и    определяют скорости изменения средних зна-
              dt dt
чений координаты hxi и импульса hpi, соответственно. Воспользовав-
шись соотношениями, полученными на прошлой лекции, получаем
     dhxi      dx̂       p̂     hpi
          = hΨ| |Ψi = hΨ| |Ψi =     ,
      dt       dt        m       m
                                         Z
     dhpi      dp̂         dU                dU              dU
          = hΨ| |Ψi = −hΨ|    |Ψi ≡ −           |Ψ|2 dx = −h    i.
      dt       dt          dx                dx              dx
Следовательно
                            d2 hxi       dU
                         m         = −h      i.
                             dt2          dx
   Пусть ∆x – размер области локализации частицы (размер обла-
сти, где плотность вероятности |Ψ|2 существенно отлична от нуля).
      dU
Если      слабо меняется в этой области (т.е. ∆x ¿ L, где L – размер
      dx
                                    dU
области существенного изменения          ), то
                                     dx
                                       ¯
                           dU      dU ¯¯
                         h    i'               .
                           dx      dx ¯x'hxi

В этом случае движение области локализации частицы определяется
вторым законом Ньютона
                                     ¯
                       d2 hxi    dU ¯¯
                     m 2 '−                 .
                        dt        dx ¯x'hxi

Мы показали, что в пределе ∆x ¿ L классическая динамика выво-
дится из квантовой динамики. Это утверждение называется теоре-
мой Эренфеста.

    Замечание. Пусть L – масштаб неоднородности потенциала
U (x) (и его производной); частица движется в области размера ∼ L,
                                 31

Страницы