Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

вательно должны существовать соответствия:
F ↔ hF i,
∂F
∂t
↔ hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
|Ψi,
{H, F } ↔
i
~
hΨ|[
ˆ
H,
ˆ
F ]|Ψi.
По этой причине коммутатор [
ˆ
H,
ˆ
F ] иногда называют квантовой
скобкой Пуассона. Указанное соответствие между коммутатором и
скобкой Пуассона может быть использовано для определения явного
вида операторов физических величин.
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, где q →
ˆx = x и p → ˆp =? В классической теории скобка Пуассона {p, x}
легко вычисляется:
{p, x} = 1.
Для коммутатора операторов ˆp и ˆx, следовательно, получаем:
i
~
[ˆp, ˆx] = 1 ⇒ [ˆp, ˆx] = −i~.
Это верно, если оператор импульса выглядит следующим образом:
ˆp = −i~
d
dx
.
В случае n-мерного конфигурационного пространства имеем
{p
i
, q
j
} = δ
ij
.
Следовательно
i
~
[ˆp
i
, ˆq
j
] = δ
ij
⇒ [ˆp
i
, ˆq
j
] = −i~δ
ij
.
В частности, оператор импульса частицы, движущейся в трехмерном
пространстве, есть
ˆ
p = −i~∇.
33
вательно должны существовать соответствия:

                           F           ↔        hF i,

                        ∂F                            ∂ F̂
                                       ↔        hΨ|        |Ψi,
                        ∂t                            ∂t
                                                i
                  {H, F }              ↔          hΨ|[Ĥ, F̂ ]|Ψi.
                                                ~

По этой причине коммутатор [Ĥ, F̂ ] иногда называют квантовой
скобкой Пуассона. Указанное соответствие между коммутатором и
скобкой Пуассона может быть использовано для определения явного
вида операторов физических величин.
    Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, где q →
x̂ = x и p → p̂ =? В классической теории скобка Пуассона {p, x}
легко вычисляется:
                           {p, x} = 1.
Для коммутатора операторов p̂ и x̂, следовательно, получаем:
                     i
                       [p̂, x̂] = 1        ⇒     [p̂, x̂] = −i~.
                     ~
Это верно, если оператор импульса выглядит следующим образом:
                                                 d
                                   p̂ = −i~        .
                                                dx
   В случае n-мерного конфигурационного пространства имеем

                                  {pi , qj } = δij .

Следовательно
                i
                  [p̂i , q̂j ] = δij       ⇒     [p̂i , q̂j ] = −i~δij .
                ~
В частности, оператор импульса частицы, движущейся в трехмерном
пространстве, есть
                           p̂ = −i~∇.



                                           33

Страницы