Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Решаем стационарное уравнение Шредингера
ˆ
Hψ(x) = Eψ(x),
−
~
2
2m
ψ
00
+
mω
2
x
2
2
ψ = Eψ.
Обезразмериваем уравнение, домножая левую и правую части на
2/~ω,
−
~
mω
ψ
00
(x) +
mω
~
x
2
ψ(x) =
2E
~ω
ψ(x).
Теперь вводим безразмерную координату и безразмерную энергию:
ξ =
r
mω
~
x,
ε =
E
~ω
.
В новых переменных стационарное уравнение Шредингера прини-
мает вид
−ψ
00
(ξ) + ξ
2
ψ(ξ) = 2εψ(ξ).
Для начала исследуем асимптотику решений при ξ → ±∞. Пре-
небрегая 2εψ(ξ), имеющим второй порядок малости по отношению к
ξ
2
ψ при больших |ξ|, получаем упрощенное уравнение
ψ
00
(ξ) ' ξ
2
ψ(ξ).
Решением этого асимптотического уравнения является следующая
функция
ψ(ξ) = Cξ
n
e
−αξ
2
,
где α > 0, чтобы выполнялось условие ψ (ξ) → 0 при |ξ| → ∞. Дей-
ствительно, ограничиваясь учетом слагаемых, доминирующих при
|ξ| → ∞, получаем:
ψ
0
(ξ) ' −2αCξ
n+1
e
−αξ
2
,
ψ
00
(ξ) ' 4α
2
Cξ
n+2
e
−αξ
2
= 4α
2
ξ
2
ψ.
35
Решаем стационарное уравнение Шредингера

                   Ĥψ(x) = Eψ(x),

                       ~2 00 mω 2 x2
                   −      ψ +        ψ = Eψ.
                       2m      2
Обезразмериваем уравнение, домножая левую и правую части на
2/~ω,
                  ~ 00      mω 2        2E
               −    ψ (x) +    x ψ(x) =    ψ(x).
                 mω          ~          ~ω
Теперь вводим безразмерную координату и безразмерную энергию:
                              r
                                mω
                          ξ=       x,
                                 ~

                                E
                           ε=      .
                                ~ω
В новых переменных стационарное уравнение Шредингера прини-
мает вид
                  −ψ 00 (ξ) + ξ 2 ψ(ξ) = 2εψ(ξ).
     Для начала исследуем асимптотику решений при ξ → ±∞. Пре-
небрегая 2εψ(ξ), имеющим второй порядок малости по отношению к
ξ 2 ψ при больших |ξ|, получаем упрощенное уравнение

                         ψ 00 (ξ) ' ξ 2 ψ(ξ).

Решением этого асимптотического уравнения является следующая
функция
                                      2
                      ψ(ξ) = Cξ n e−αξ ,
где α > 0, чтобы выполнялось условие ψ(ξ) → 0 при |ξ| → ∞. Дей-
ствительно, ограничиваясь учетом слагаемых, доминирующих при
|ξ| → ∞, получаем:
                                          2
               ψ 0 (ξ) ' −2αCξ n+1 e−αξ ,
                                          2
               ψ 00 (ξ) ' 4α2 Cξ n+2 e−αξ = 4α2 ξ 2 ψ.


                                 35

Страницы