Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задавая a
0
и a
1
, из рекурентных соотношений однозначно опре-
деляем все остальные члены ряда. Этот ряд должен обрываться, так
как функция f(ξ) должна быть полиномом конечной степени. Тогда
при |ξ| → ∞ выживает только старшая степень полинома и ψ(ξ)
принимает асимптотическую форму. Обрыв возникает, если выпол-
няется одно из следующих условий:
1) a
1
= 0 и ε = n +
1
2
, n = 0, 2, 4 . . .;
в этом случае f
n
(ξ) =
n
X
k=0,2...
a
k
ξ
k
представляет собой четный поли-
ном n-й степени;
2) a
0
= 0 и ε = n +
1
2
, n = 1, 3, 5 . . .;
в этом случае f
n
(ξ) =
n
X
k=1,3...
a
k
ξ
k
представляет собой нечетный по-
лином n-й степени.
Замечание. Функции f
n
(ξ) пропорциональны полиномам Эрми-
та H
n
(ξ).
Окончательно, в случае линейного осциллятора стационарное
уравнение Шредингера имеет следующие решения:
ψ
n
(x) = C
n
H
n
(ξ)e
−ξ
2
/2
, E
n
= ~ω
µ
n +
1
2
, n = 0, 1, 2 . . . ,
где ξ =
r
mω
~
x. Общее решение уравнения Шредингера имеет вид
Ψ(x, t) =
X
n
c
n
ψ
n
(x)e
−i
E
n
t
~
=
X
n
c
n
ψ
n
(x)e
−i
~ω(n+1/2)t
~
=
= e
−i
ωt
2
X
n
c
n
ψ
n
(x)e
−iωnt
.
Замечание. Из вида общего решения следует ,что
|Ψ(x, t)| = |Ψ(x, t + T )|,
где T =
2π
ω
. То есть, каким бы ни было начальное условие, волно-
37
   Задавая a0 и a1 , из рекурентных соотношений однозначно опре-
деляем все остальные члены ряда. Этот ряд должен обрываться, так
как функция f (ξ) должна быть полиномом конечной степени. Тогда
при |ξ| → ∞ выживает только старшая степень полинома и ψ(ξ)
принимает асимптотическую форму. Обрыв возникает, если выпол-
няется одно из следующих условий:
                       1
   1) a1 = 0 и ε = n + , n = 0, 2, 4 . . .;
                       2
                         Xn
в этом случае fn (ξ) =       ak ξ k представляет собой четный поли-
                            k=0,2...
ном n-й степени;
                       1
   2) a0 = 0 и ε = n + , n = 1, 3, 5 . . .;
                       2
                         n
                         X
в этом случае fn (ξ) =      ak ξ k представляет собой нечетный по-
                            k=1,3...
лином n-й степени.

   Замечание. Функции fn (ξ) пропорциональны полиномам Эрми-
та Hn (ξ).

   Окончательно, в случае линейного осциллятора стационарное
уравнение Шредингера имеет следующие решения:
                                       µ       ¶
                          2                  1
    ψn (x) = Cn Hn (ξ)e−ξ /2 , En = ~ω n +       , n = 0, 1, 2 . . . ,
                                             2
        r
           mω
где ξ =        x. Общее решение уравнения Шредингера имеет вид
            ~
                  X              En t X              ~ω(n+1/2)t
       Ψ(x, t) =     cn ψn (x)e−i ~ =   cn ψn (x)e−i     ~      =
                   n                          n

                       ωt
                            X
              = e−i    2        cn ψn (x)e−iωnt .
                            n

   Замечание. Из вида общего решения следует ,что

                            |Ψ(x, t)| = |Ψ(x, t + T )|,
          2π
где T =      . То есть, каким бы ни было начальное условие, волно-
          ω
                                         37

Страницы