Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

вая функция линейного осциллятора возвращается к своему перво-
начальному виду через отрезок времени T =
2π
ω
.
Лекция №7. Частица в центральном поле
Операторы орбитального момента
В центральном поле потенциальная энергия частицы зависит
только от ее расстояния от центра, т.е.
U(r) = U(|r|) ≡ U(r), |r| ≡ r.
Силы, действующие на частицу в центральном поле, разумеется, яв-
ляются центральными, поскольку
F = −∇U = −U
0
(r)
r
r
.
Пример: электрон в поле ядра. Потенциальная энергия элек-
трона U(r) = −
Ze
2
r
.
Рассмотрим потенциал центрального поля самого общего вида
U(r). Оператор Гамильтона имеет вид
ˆ
H =
ˆ
p
2
2m
+ U(r).
Ищем решение стационарного уравнения Шредингера
ˆ
Hψ
n
= Eψ
n
, ψ
n
= ψ
n
(r).
Для решения введем оператор орбитального (углового) момента
ˆ
L = [
ˆ
r ×
ˆ
p] = −i~[r × ∇].
По определению
ˆ
l =
ˆ
L
~
= −i[r × ∇] = −i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e
x
e
y
e
z
x y z
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
38
вая функция линейного осциллятора возвращается к своему перво-
                                          2π
начальному виду через отрезок времени T =    .
                                          ω

Лекция №7. Частица в центральном поле

   Операторы орбитального момента

   В центральном поле потенциальная энергия частицы зависит
только от ее расстояния от центра, т.е.
                 U (r) = U (|r|) ≡ U (r),       |r| ≡ r.
Силы, действующие на частицу в центральном поле, разумеется, яв-
ляются центральными, поскольку
                                         r
                       F = −∇U = −U 0 (r) .
                                         r
    Пример: электрон в поле ядра. Потенциальная энергия элек-
                Ze2
трона U (r) = −     .
                 r
    Рассмотрим потенциал центрального поля самого общего вида
U (r). Оператор Гамильтона имеет вид
                                 p̂2
                          Ĥ =       + U (r).
                                 2m
Ищем решение стационарного уравнения Шредингера
                   Ĥψn = Eψn ,         ψn = ψn (r).
   Для решения введем оператор орбитального (углового) момента
                     L̂ = [r̂ × p̂] = −i~[r × ∇].
По определению
                                   ¯                      ¯
                                   ¯ ex          ey    ez ¯
                                   ¯                      ¯
                                   ¯                      ¯
                 L̂                ¯                      ¯
                                   ¯ x            y     z ¯
             l̂ = = −i[r × ∇] = −i ¯                      ¯
                 ~                 ¯                      ¯
                                   ¯ ∂           ∂     ∂ ¯¯
                                   ¯
                                   ¯                      ¯
                                     ∂x          ∂y    ∂z
                                   38

Страницы