Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

есть безразмерный оператор орбитального момента.
Оператор
ˆ
l коммутирует с оператором
ˆ
H, то есть
[
ˆ
H,
ˆ
l
α
] = 0, α = 1, 2, 3,
где
ˆ
l
1
≡
ˆ
l
x
= −i
µ
y
∂
∂z
− z
∂
∂y
,
ˆ
l
2
≡
ˆ
l
y
= −i
µ
z
∂
∂x
− x
∂
∂z
,
ˆ
l
3
≡
ˆ
l
z
= −i
µ
x
∂
∂y
− y
∂
∂x
,
или
ˆ
l
α
= −ie
αβγ
r
β
∇
γ
=
1
~
e
αβγ
r
β
ˆp
γ
.
Действительно, воспользовавшись тем, что
ˆ
H =
ˆp
λ
ˆp
λ
2m
+ U(r)
и
[ˆp
α
, r
β
] = −i~δ
αβ
,
нетрудно показать, что
[ˆp
λ
ˆp
λ
,
ˆ
l
α
] = 0,
и
[U(r),
ˆ
l
α
] = 0.
Далее, вычисляя коммутаторы опрераторов
ˆ
l
α
, находим
h
ˆ
l
x
,
ˆ
l
y
i
= i
ˆ
l
z
,
h
ˆ
l
y
,
ˆ
l
z
i
= i
ˆ
l
x
,
h
ˆ
l
z
,
ˆ
l
x
i
= i
ˆ
l
y
,
или
[
ˆ
l
α
,
ˆ
l
β
] = ie
αβγ
ˆ
l
γ
.
39
есть безразмерный оператор орбитального момента.
   Оператор l̂ коммутирует с оператором Ĥ, то есть

                      [Ĥ, ˆlα ] = 0,        α = 1, 2, 3,

где                                 µ           ¶
                      ˆl1 ≡ ˆlx = −i y ∂ − z ∂ ,
                                    µ ∂z    ∂y ¶
                      ˆl2 ≡ ˆly = −i z ∂ − x ∂ ,
                                    µ ∂x     ∂z ¶
                      ˆl3 ≡ ˆlz = −i x ∂ − y ∂ ,
                                      ∂y    ∂x
или
                 ˆlα = −ieαβγ rβ ∇γ = 1 eαβγ rβ p̂γ .
                                      ~
Действительно, воспользовавшись тем, что
                                   p̂λ p̂λ
                            Ĥ =           + U (r)
                                    2m
и
                            [p̂α , rβ ] = −i~δαβ ,
нетрудно показать, что

                              [p̂λ p̂λ , ˆlα ] = 0,

и
                              [U (r), ˆlα ] = 0.
      Далее, вычисляя коммутаторы опрераторов ˆlα , находим
                            h         i
                             ˆlx , ˆly = iˆlz ,

                               h         i
                                ˆly , ˆlz = iˆlx ,

                               h         i
                                ˆlz , ˆlx = iˆly ,

или
                            [ˆlα , ˆlβ ] = ieαβγ ˆlγ .


                                        39

Страницы