Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Так как операторы проекций вектора орбитального момента на оси
декартовой системы координат не коммутируют друг с другом, то
только одна компонента вектора l может быть точно определена.
Введем оператор квадрата орбитального момента:
ˆ
l
2
≡
ˆ
l
2
x
+
ˆ
l
2
y
+
ˆ
l
2
z
.
Нетрудно показать, что он коммутирует с операторами проекций ор-
битального момента, т.е.
[
ˆ
l
2
,
ˆ
l
α
] = 0.
Следовательно квадрат длины и одна из компонент вектора l одно-
временно измеримы. То есть операторы
ˆ
H,
ˆ
l
2
и
ˆ
l
α
коммутируют друг
с другом. А это означает, что они имеют общую систему собственных
функций.
Перейдем от декартовых координат (x, y, z) к сферическим ко-
ординатам (r, θ, ϕ):
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.
В сферических координатах операторы
ˆ
l
α
имеют вид
ˆ
l
x
= −i
µ
−sin ϕ
∂
∂θ
− cos ϕ ctg θ
∂
∂ϕ
,
ˆ
l
y
= −i
µ
cos ϕ
∂
∂θ
− sin ϕ ctg θ
∂
∂ϕ
,
ˆ
l
z
= −i
∂
∂ϕ
.
Для оператора квадрата орбитального момента получаем:
ˆ
l
2
= −
1
sin θ
∂
∂θ
µ
sin θ
∂
∂θ
−
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
≡ −∆
θ, ϕ
.
Легко видеть, что наиболее просто выглядит тройка коммутирую-
щих операторов
ˆ
H,
ˆ
l
2
и
ˆ
l
z
.
Рассмотрим вид оператора Гамильтона в сферических координа-
тах:
ˆ
H =
ˆ
p
2
2m
+ U(r) = −
~
2
2m
∆
r, θ, ϕ
+ U(r).
40
Так как операторы проекций вектора орбитального момента на оси
декартовой системы координат не коммутируют друг с другом, то
только одна компонента вектора l может быть точно определена.
Введем оператор квадрата орбитального момента:

                            l̂2 ≡ ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2 .

Нетрудно показать, что он коммутирует с операторами проекций ор-
битального момента, т.е.

                                [l̂2 , ˆlα ] = 0.

Следовательно квадрат длины и одна из компонент вектора l одно-
временно измеримы. То есть операторы Ĥ, l̂2 и ˆlα коммутируют друг
с другом. А это означает, что они имеют общую систему собственных
функций.
   Перейдем от декартовых координат (x, y, z) к сферическим ко-
ординатам (r, θ, ϕ):

           x = r sin θ cos ϕ,   y = r sin θ sin ϕ,       z = r cos θ.

В сферических координатах операторы ˆlα имеют вид
                      µ                          ¶
              ˆlx = −i − sin ϕ ∂ − cos ϕ ctg θ ∂ ,
                              ∂θ              ∂ϕ
                        µ                        ¶
                ˆly = −i cos ϕ ∂ − sin ϕ ctg θ ∂ ,
                              ∂θ              ∂ϕ

                ˆlz = −i ∂ .
                        ∂ϕ
Для оператора квадрата орбитального момента получаем:
                          µ          ¶
                   1 ∂            ∂        1 ∂2
         l̂2 = −            sin θ      −            ≡ −∆θ, ϕ .
                 sin θ ∂θ         ∂θ     sin2 θ ∂ϕ2
Легко видеть, что наиболее просто выглядит тройка коммутирую-
щих операторов Ĥ, l̂2 и ˆlz .
   Рассмотрим вид оператора Гамильтона в сферических координа-
тах:
                     p̂2             ~2
              Ĥ =       + U (r) = −    ∆r, θ, ϕ + U (r).
                    2m               2m
                                       40

Страницы