Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 42 стр.

то есть
                                ei2πm = 1.
Следовательно m ∈ Z.
   Подставляя
                          Ylm (θ, ϕ) = A(θ)eimϕ
в первое уравнение системы и сокращая eimϕ , получаем уравнение
на A(θ):
          µ           µ          ¶          ¶
               1 d            d       m2
           −            sin θ      +          A(θ) = λ(l)A(θ).
             sin θ dθ         dθ     sin2 θ
Выполним замену переменной:

                       ξ = cos θ,     −1 6 ξ 6 1,

                       d    d cos θ d          d
                          =           = − sin θ .
                       dθ     dθ dξ            dξ
Тогда
                µ         ¶      µ           ¶
       1 d             d      d     2     d               d2     d
   −             sin θ      =     (ξ − 1)      = (ξ 2 − 1) 2 + 2ξ ,
     sin θ dθ          dθ     dξ          dξ              dξ     dξ

и уравнение для A(ξ) принимает вид:
          µ                           ¶
             2     d2     d      m2
           (ξ − 1) 2 + 2ξ    +          A(ξ) = λ(l)A(ξ).
                  dξ      dξ   1 − ξ2


   Замечание. В общем случае решение A(ξ) расходится в точках
ξ = ±1, то есть при θ = ±π или на оси Oz в декартовых координатах.
С физической точки зрения расходимостей быть не должно. Кроме
того, выбор оси (в нашем случае – оси Oz) не должен отражаться на
решении уравнения Шредингера.

   Из теории уравнений математической физики следует, что рас-
ходимостей (особенностей) при ξ = ±1 нет, только если

                              λ(l) = l(l + 1),


                                    42