Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где l = |m|, |m| + 1, . . . (l > |m|). То есть при любом l = 0, 1, 2 . . .
получаем уравнение
µ
(ξ
2
− 1)
d
2
dξ
2
+ 2ξ
d
dξ
+
m
2
1 − ξ
2
− l(l + 1)
A(ξ) = 0,
где m = 0, ±1, ±2 . . . ± l. В таком случае A
lm
(ξ) – это функция
без особенностей при −1 6 ξ 6 1. Поскольку уравнение содержит
m
2
, то функции A
lm
(ξ) и A
l −m
(ξ) отличаются только постоянным
множителем.
Рассмотрим два случая
а) m = 0,
µ
(ξ
2
− 1)
d
2
dξ
2
+ 2ξ
d
dξ
− l(l + 1)
A(ξ) = 0.
Тогда решением является A(ξ) = P
l
(ξ) – полином Лежандра степени
l. Его явный вид задается формулой Родрига:
P
l
(ξ) =
1
2
l
l!
d
l
dξ
l
(ξ
2
− 1)
l
.
б) m > 0. Тогда A(ξ) = P
m
l
(ξ) – присоединенный полином Ле-
жандра. Для него имеем:
P
m
l
(ξ) = (1 − ξ
2
)
m/2
d
m
dξ
m
P
l
(ξ).
Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности:
1
Z
−1
P
m
l
(ξ)P
m
l
0
(ξ)dξ ∼ δ
ll
0
.
Итак, сферические гармоники имеют вид (для неотрицательных
m):
Y
lm
(θ, ϕ) = C
lm
P
m
l
(θ)e
imϕ
, l = 0, 1, 2 . . . , m = 0, 1, 2 . . . l.
Константы C
lm
находятся из условия нормировки
ZZ
|Y
lm
(θ, ϕ)|
2
dΩ = 1.
43
где l = |m|, |m| + 1, . . . (l > |m|). То есть при любом l = 0, 1, 2 . . .
получаем уравнение
         µ                                           ¶
                   d2          d      m2
          (ξ 2 − 1) 2 + 2ξ        +        − l(l + 1)  A(ξ) = 0,
                   dξ          dξ   1 − ξ2

где m = 0, ±1, ±2 . . . ± l. В таком случае Alm (ξ) – это функция
без особенностей при −1 6 ξ 6 1. Поскольку уравнение содержит
m2 , то функции Alm (ξ) и Al −m (ξ) отличаются только постоянным
множителем.
    Рассмотрим два случая
    а) m = 0,
              µ                              ¶
                 2      d2      d
               (ξ − 1) 2 + 2ξ      − l(l + 1) A(ξ) = 0.
                       dξ       dξ

Тогда решением является A(ξ) = Pl (ξ) – полином Лежандра степени
l. Его явный вид задается формулой Родрига:

                                     1 dl 2
                        Pl (ξ) =               (ξ − 1)l .
                                    2l l! dξ l
  б) m > 0. Тогда A(ξ) = Plm (ξ) – присоединенный полином Ле-
жандра. Для него имеем:
                                                dm
                    Plm (ξ) = (1 − ξ 2 )m/2          Pl (ξ).
                                                dξ m
Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности:
                         Z1
                              Plm (ξ)Plm
                                       0 (ξ)dξ ∼ δll0 .

                        −1

   Итак, сферические гармоники имеют вид (для неотрицательных
m):

    Ylm (θ, ϕ) = Clm Plm (θ)eimϕ ,      l = 0, 1, 2 . . . ,   m = 0, 1, 2 . . . l.

Константы Clm находятся из условия нормировки
                    ZZ
                                   2
                       |Ylm (θ, ϕ)| dΩ = 1.

                                       43

Страницы