Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где введено:
U
эфф
(r) = U(r) +
h
2
l(l + 1)
2mr
2
.
Далее примем R(r) =
u(r)
r
, и, пользуясь тем, что
1
r
2
d
dr
µ
r
2
d
dr
u(r)
r
=
1
r
2
d
dr
r
2
µ
u
0
(r)
r
−
u(r)
r
2
=
=
1
r
2
d
dr
(ru
0
(r) − u(r)) =
u
00
r
,
получим
−
~
2
2m
u
00
(r)
r
+ U
эфф
(r)
u(r)
r
= E
u(r)
r
.
Домножая на r, приходим к окончательному виду уравнения на ра-
диальную функцию u(r):
−
~
2
2m
d
2
u(r)
dr
2
+ U
эфф
(r)u(r) = Eu(r).
Этот результат называют радиальным уравнением Шредингера.
Условие нормировки
Z
|ψ(r)|
2
d
3
r = 1, d
3
r = r
2
drdΩ
с учетом подстановки
ψ(r, θ, ϕ) =
u(r)
r
Y
lm
(θ, ϕ)
и нормировки функций Y
lm
(θ, ϕ), переходит в условие нормировки
функций u(r):
∞
Z
0
|u(r)|
2
r
2
r
2
dr
µ
ZZ
|Y
lm
(θ, ϕ)|
2
dΩ
=
∞
Z
0
|u(r)|
2
dr = 1.
45
где введено:
                                                h2 l(l + 1)
                          Uэфф (r) = U (r) +                .
                                                  2mr2
                           u(r)
Далее примем R(r) =             , и, пользуясь тем, что
                            r
                    µ      ¶                  µ            ¶
              1 d      2 d   u(r)      1 d 2 u0 (r) u(r)
                     r              =       r        −       =
              r2 dr     dr     r      r2 dr      r      r2

                  1 d                     u00
              =    2
                       (ru0 (r) − u(r)) =     ,
                  r dr                     r
получим
                 ~2 u00 (r)            u(r)    u(r)
                     −      + Uэфф (r)      =E      .
                2m r                    r       r
Домножая на r, приходим к окончательному виду уравнения на ра-
диальную функцию u(r):

                         ~2 d2 u(r)
                     −              + Uэфф (r)u(r) = Eu(r).
                         2m dr2
Этот результат называют радиальным уравнением Шредингера.
   Условие нормировки
                Z
                  |ψ(r)|2 d3 r = 1, d3 r = r2 drdΩ

с учетом подстановки

                                           u(r)
                            ψ(r, θ, ϕ) =        Ylm (θ, ϕ)
                                            r
и нормировки функций Ylm (θ, ϕ), переходит в условие нормировки
функций u(r):
      ∞                
        Z        2
                          µZ Z                ¶ ∞
                                                Z
         |u(r)|    2 
                   r dr        |Ylm (θ, ϕ)| dΩ = |u(r)|2 dr = 1.
                                           2
            r2
          0                                                  0




                                           45

Страницы