Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

находим
−a
2
0
u
00
(r) +
µ
−
2Za
0
r
+
a
2
0
l(l + 1)
r
2
u(r) =
2E
E
a
u(r).
В новых безразмерных переменных
ρ =
r
a
0
, ε =
E
E
a
,
получаем уравнение
−u
00
(ρ) −
2Z
ρ
u(ρ) +
l(l + 1)
ρ
2
u(ρ) = 2εu(ρ).
Явный вид радиальных функций
Будем рассматривать только связанные состояния, такие что
E <
0
, ε <
0
,
−
ε
≡
α
2
2
>
0
.
Тогда
−u
00
(ρ) −
2Z
ρ
u(ρ) +
l(l + 1)
ρ
2
u(ρ) + α
2
u(ρ) = 0.
Искать решение, как в задаче о линейном осцилляторе, будем по-
этапно.
Для начала найдем асимптотику решения при ρ → ∞. Пренебре-
гая членами младших порядков, находим
u
00
(ρ) − α
2
u(ρ) ' 0.
Решением, как легко показать, является функция
u(ρ) = Cρ
n
e
−αρ
.
Действительно, удерживая только ведущие при ρ → ∞ слагаемые,
получаем
u
0
(ρ) ' −αCρ
n
e
−αρ
,
u
00
(ρ) ' α
2
Cρ
n
e
−αρ
= α
2
u(ρ).
47
находим
                          µ                      ¶
                             2Za0   a20 l(l + 1)          2E
          −a20 u00 (r)   + −      +                u(r) =    u(r).
                              r           r2              Ea

В новых безразмерных переменных
                                    r       E
                               ρ=      , ε=    ,
                                    a0      Ea
получаем уравнение

                             2Z        l(l + 1)
               −u00 (ρ) −       u(ρ) +          u(ρ) = 2εu(ρ).
                              ρ           ρ2

   Явный вид радиальных функций

   Будем рассматривать только связанные состояния, такие что

                                                       α2
                   E < 0,         ε < 0,     −ε ≡         > 0.
                                                       2
Тогда
                           2Z        l(l + 1)
             −u00 (ρ) −       u(ρ) +          u(ρ) + α2 u(ρ) = 0.
                            ρ           ρ2
Искать решение, как в задаче о линейном осцилляторе, будем по-
этапно.
   Для начала найдем асимптотику решения при ρ → ∞. Пренебре-
гая членами младших порядков, находим

                              u00 (ρ) − α2 u(ρ) ' 0.

Решением, как легко показать, является функция

                                u(ρ) = Cρn e−αρ .

Действительно, удерживая только ведущие при ρ → ∞ слагаемые,
получаем
                  u0 (ρ) ' −αCρn e−αρ ,

                         u00 (ρ) ' α2 Cρn e−αρ = α2 u(ρ).

                                       47

Страницы