Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тогда, почленно дифференцируя, находим
F
0
(ρ) =
X
ν=0
(ν + l + 1)β
ν
ρ
ν+l
,
F
00
(ρ) =
X
ν=0
(ν + l)(ν + l + 1)β
ν
ρ
ν+l−1
.
Подставляя ряды в уравнение и вынося ρ
l−1
из под знака сумм, по-
лучаем
ρ
l−1
X
ν=0
β
ν
(ν + l)(ν + l + 1)ρ
ν
− 2αρ
l−1
X
ν=0
β
ν
(ν + l + 1)ρ
ν+1
+
+2Zρ
l−1
X
ν=0
β
ν
ρ
ν+1
− l(l + 1)ρ
l−1
X
ν=0
β
ν
ρ
ν
= 0.
Общий множитель ρ
l−1
, конечно, сокращается.
В левой части получившегося уравнения стоят четыре ряда. За-
метим, что первый и четвертый ряды начинаются со слагаемого ∼ ρ
0
,
тогда как второй и третий – со слагаемого ∼ ρ
1
. Выделяя в первом
и четвертом рядах "нулевые"слагаемые, находим:
l(l + 1)β
0
+
X
ν=1
β
ν
(ν + l)(ν + l + 1)ρ
ν
− 2α
X
ν=0
β
ν
(ν + l + 1)ρ
ν+1
+
+2Z
X
ν=0
β
ν
ρ
ν+1
− l(l + 1)β
0
− l(l + 1)
X
ν=1
β
ν
ρ
ν
= 0.
Сокращая слагаемые l(l+1)β
0
и меняя индексы суммирования в пер-
вом и последнем рядах так, чтобы суммирования вновь начинались
с нулевого индекса, получаем
X
ν=0
[ β
ν+1
(ν + l + 1)(ν + l + 2) − 2αβ
ν
(ν + l + 1) +
+ 2Zβ
ν
− l(l + 1)β
ν+1
] ρ
ν+1
= 0.
Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ра-
вен нулю. Отсюда получаем рекурентные соотношения для коэффи-
центов β
ν
:
β
ν+1
= β
ν
2α(ν + l + 1) − 2Z
(ν + l + 1)(ν + l + 2) − l(l + 1)
, ν = 0, 1, 2 . . .
49
Тогда, почленно дифференцируя, находим
                        X
              F 0 (ρ) =   (ν + l + 1)βν ρν+l ,
                                ν=0

                                X
                   F 00 (ρ) =         (ν + l)(ν + l + 1)βν ρν+l−1 .
                                ν=0

Подставляя ряды в уравнение и вынося ρl−1 из под знака сумм, по-
лучаем
        X                                  X
   ρl−1   βν (ν + l)(ν + l + 1)ρν − 2αρl−1   βν (ν + l + 1)ρν+1 +
         ν=0                                             ν=0

                X                                X
    +2Zρl−1           βν ρν+1 − l(l + 1)ρl−1           βν ρν = 0.
                ν=0                              ν=0

Общий множитель ρl−1 , конечно, сокращается.
   В левой части получившегося уравнения стоят четыре ряда. За-
метим, что первый и четвертый ряды начинаются со слагаемого ∼ ρ0 ,
тогда как второй и третий – со слагаемого ∼ ρ1 . Выделяя в первом
и четвертом рядах "нулевые"слагаемые, находим:
               X                              X
  l(l + 1)β0 +   βν (ν + l)(ν + l + 1)ρν − 2α   βν (ν + l + 1)ρν+1 +
                 ν=1                                      ν=0
        X                                          X
  +2Z         βν ρν+1 − l(l + 1)β0 − l(l + 1)            βν ρν = 0.
        ν=0                                        ν=1

Сокращая слагаемые l(l+1)β0 и меняя индексы суммирования в пер-
вом и последнем рядах так, чтобы суммирования вновь начинались
с нулевого индекса, получаем
         X
             [ βν+1 (ν + l + 1)(ν + l + 2) − 2αβν (ν + l + 1) +
          ν=0


          + 2Zβν − l(l + 1)βν+1 ] ρν+1 = 0.
Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ра-
вен нулю. Отсюда получаем рекурентные соотношения для коэффи-
центов βν :
                          2α(ν + l + 1) − 2Z
     βν+1 = βν                                       ,              ν = 0, 1, 2 . . .
                   (ν + l + 1)(ν + l + 2) − l(l + 1)
                                            49

Страницы