Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задавая β
0
, однозначно определяем все остальные члены ряда.
Так как асимптотика функции u(ρ) при ρ → ∞ описывается произ-
ведением конечной степени ρ и e
−αρ
, то ряд F (ρ) должен обрываться.
Пусть старшая степень ряда есть n
r
(т.е. β
n
r
6= 0, тогда как β
n
r
+1
=
= β
n
r
+2
= . . . = 0). Тогда условие обрыва принимает вид:
α =
Z
n
r
+ l + 1
.
Следовательно
F (ρ) = ρ
l+1
n
r
X
ν=0
β
ν
ρ
ν
.
Этот полином называется полиномом Лагера (при подходящем вы-
боре β
0
); n
r
– это число узлов радиальной функции. Таким образом
ε = −
α
2
2
= −
Z
2
2(n
r
+ l + 1)
2
.
В то же время волновая функция состояния с такой энергией опре-
деляется формулой
ψ
n
r
lm
(ρ, θ, ϕ) =
u(r)
r
Y
lm
(θ, ϕ) = C
n
r
l
ρ
l
Ã
n
r
X
ν=0
β
ν
ρ
ν
!
e
−αρ
Y
lm
(θ, ϕ).
Тройка (n
r
, l, m) – это квантовые числа, задающие состояние.
Спектр водородоподобного атома
Передем к другой тройке квантовых чисел (n, l, m), где n ≡ n
r
+
+ l + 1 – главное квантовое число. Тогда
ψ
nlm
(ρ, θ, ϕ) = C
nl
ρ
l
Ã
n−l−1
X
ν=0
(
β
ν
β
0
)ρ
ν
!
e
−
Zρ
n
Y
lm
(θ, ϕ).
В этом случае энергии состояний определяются только главным
квантовым числом n:
E
n
= E
a
ε
n
= −
Z
2
e
4
2a
0
n
2
= −
Z
2
m
e
e
4
2~
2
n
2
.
50
   Задавая β0 , однозначно определяем все остальные члены ряда.
Так как асимптотика функции u(ρ) при ρ → ∞ описывается произ-
ведением конечной степени ρ и e−αρ , то ряд F (ρ) должен обрываться.
Пусть старшая степень ряда есть nr (т.е. βnr 6= 0, тогда как βnr +1 =
= βnr +2 = . . . = 0). Тогда условие обрыва принимает вид:

                                     Z
                            α=              .
                                 nr + l + 1
Следовательно
                                        nr
                                        X
                         F (ρ) = ρl+1         βν ρν .
                                        ν=0

Этот полином называется полиномом Лагера (при подходящем вы-
боре β0 ); nr – это число узлов радиальной функции. Таким образом

                            α2         Z2
                      ε=−      =−                .
                            2     2(nr + l + 1)2

В то же время волновая функция состояния с такой энергией опре-
деляется формулой
                                                Ãn         !
                    u(r)                         X r
                                              l
 ψnr lm (ρ, θ, ϕ) =      Ylm (θ, ϕ) = Cnr l ρ        βν ρ e−αρ Ylm (θ, ϕ).
                                                         ν
                     r                           ν=0

Тройка (nr , l, m) – это квантовые числа, задающие состояние.

   Спектр водородоподобного атома

    Передем к другой тройке квантовых чисел (n, l, m), где n ≡ nr +
+ l + 1 – главное квантовое число. Тогда
                                  Ãn−l−1       !
                                    X βν         Zρ
                                l
         ψnlm (ρ, θ, ϕ) = Cnl ρ          ( )ρ e− n Ylm (θ, ϕ).
                                             ν

                                    ν=0
                                          β0


В этом случае энергии состояний определяются только главным
квантовым числом n:
                                   Z 2 e4     Z 2 me e4
                  En = Ea εn = −         2
                                           =−           .
                                   2a0 n       2~2 n2

                                   50

Страницы