Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Найдем также асимптотику u(ρ) при ρ → 0. В этом пределе урав-
нение принимает форму
u
00
(ρ) −
l(l + 1)
ρ
2
u(ρ) ' 0.
Этому уравнению удовлетворяет степенная функция
u(ρ) = Cρ
k
,
причем k определяется условием
k(k −1) = l(l + 1).
То есть, k = l + 1 или k = −l. При отрицательном k функция u(ρ) не
определена в нуле, а нормировочный интеграл расходится. Следова-
тельно в пределе ρ → 0 имеем u(ρ) ∼ ρ
l+1
.
Подытоживая результаты, получаем
u(ρ) ∼ ρ
n
e
−αρ
, при ρ → ∞,
u(ρ) ∼ ρ
l+1
, при ρ → 0.
Решение u(ρ) ищем в виде
u(ρ) = F (ρ)e
−αρ
,
тогда
u
0
= F
0
e
−αρ
− αF e
−αρ
;
u
00
= F
00
e
−αρ
− 2αF
0
e
−αρ
+ α
2
F e
−αρ
.
Подставляя эти выражения в обезразмеренное уравнение и сокращая
e
−αρ
, получаем
−F
00
+ 2αF
0
− α
2
F −
2Z
ρ
F +
l(l + 1)
ρ
2
F + α
2
F = 0,
или
−F
00
+ 2αF
0
−
2Z
ρ
F +
l(l + 1)
ρ
2
F = 0.
Ищем теперь F (ρ) в виде ряда
F (ρ) = ρ
l+1
X
ν=0
β
ν
ρ
ν
=
X
ν=0
β
ν
ρ
ν+l+1
, β
0
6= 0.
48
   Найдем также асимптотику u(ρ) при ρ → 0. В этом пределе урав-
нение принимает форму
                                  l(l + 1)
                      u00 (ρ) −            u(ρ) ' 0.
                                     ρ2
Этому уравнению удовлетворяет степенная функция

                             u(ρ) = Cρk ,

причем k определяется условием

                         k(k − 1) = l(l + 1).

То есть, k = l + 1 или k = −l. При отрицательном k функция u(ρ) не
определена в нуле, а нормировочный интеграл расходится. Следова-
тельно в пределе ρ → 0 имеем u(ρ) ∼ ρl+1 .
   Подытоживая результаты, получаем
                  u(ρ) ∼ ρn e−αρ ,     при      ρ → ∞,

                  u(ρ) ∼ ρl+1 ,        при      ρ → 0.

   Решение u(ρ) ищем в виде

                          u(ρ) = F (ρ)e−αρ ,

тогда
               u0 = F 0 e−αρ − αF e−αρ ;

               u00 = F 00 e−αρ − 2αF 0 e−αρ + α2 F e−αρ .
Подставляя эти выражения в обезразмеренное уравнение и сокращая
e−αρ , получаем
                                  2Z    l(l + 1)
         −F 00 + 2αF 0 − α2 F −      F+          F + α2 F = 0,
                                   ρ       ρ2
или
                                  2Z    l(l + 1)
                −F 00 + 2αF 0 −      F+          F = 0.
                                   ρ       ρ2
   Ищем теперь F (ρ) в виде ряда
                       X         X
          F (ρ) = ρl+1   βν ρν =   βν ρν+l+1 ,           β0 6= 0.
                       ν=0            ν=0

                                     48

Страницы