Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лекция №8. Водородоподобный атом
Уравнение для радиальных функций
Рассмотрим подробнее одну из важнейших задач, связанных с
центральным полем, а именно – кулоновское поле водородоподобного
атома. Потенциальная энергия электрона в этом поле имеет вид:
U(r) = −
Ze
2
r
.
На прошлой лекции было показано, что волновая функция частицы
в таком поле представима в виде
ψ(r) =
u(r)
r
Y
lm
(θ, ϕ).
При этом u(r) – это решение радиального уравнения Шредингера,
−
~
2
2m
e
u
00
(r) +
µ
−
Ze
2
r
+
~
2
l(l + 1)
2m
e
r
2
u(r) = Eu(r),
нормированное условием
∞
Z
0
|u(r)|
2
dr = 1.
Домножая обе части уравнения на
2~
2
m
e
e
4
−
~
4
m
2
e
e
4
u
00
(r) +
µ
−
2Z~
2
m
e
e
2
r
+
~
4
l(l + 1)
m
2
e
e
4
r
2
u(r) =
2E~
2
m
e
e
4
u(r),
и вводя следующие величины
a
0
=
~
2
m
e
e
2
' 0, 5 · 10
−8
см,
E
a
=
e
2
a
0
=
m
e
e
4
~
2
' 27 эВ,
46
Лекция №8. Водородоподобный атом

   Уравнение для радиальных функций

   Рассмотрим подробнее одну из важнейших задач, связанных с
центральным полем, а именно – кулоновское поле водородоподобного
атома. Потенциальная энергия электрона в этом поле имеет вид:

                                         Ze2
                            U (r) = −        .
                                          r
На прошлой лекции было показано, что волновая функция частицы
в таком поле представима в виде

                                 u(r)
                       ψ(r) =         Ylm (θ, ϕ).
                                  r
При этом u(r) – это решение радиального уравнения Шредингера,
                       µ                    ¶
           ~2 00         Ze2    ~2 l(l + 1)
        −      u (r) + −      +               u(r) = Eu(r),
          2me              r     2me r2
нормированное условием
                           Z
                           ∞

                               |u(r)|2 dr = 1.
                           0

                                        2~2
   Домножая обе части уравнения на
                                       me e4
                  µ                         ¶
       ~4 00         2Z~2       ~4 l(l + 1)          2E~2
     − 2 4 u (r) + −          +               u(r) =        u(r),
      me e           m e e2 r    m2e e4 r2           m e e4
и вводя следующие величины

                            ~2
                    a0 =         ' 0, 5 · 10−8 см,
                           me e2

                           e2   me e4
                    Ea =      =       ' 27 эВ,
                           a0    ~2

                                    46

Страницы