Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Можно показать, что
C
lm
=
µ
2l + 1
4π
(l − m)!
(l + m)!
1/2
.
Сферические гармоники с отрицательными m = −1, −2 . . . − l по
определению принимают равными
Y
lm
(θ, ϕ) = (−1)
m
Y
∗
l −m
(θ, ϕ).
Сферические гармоники образуют полный ортонормированный ба-
зис на сфере (0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π):
ZZ
Y
∗
lm
(θ, ϕ)Y
l
0
m
0
(θ, ϕ)dΩ = δ
ll
0
δ
mm
0
.
Радиальное уравнение Шредингера
Вернемся теперь к задаче о нахождении ψ-функции частицы в
центральном поле. Ищем решение стационарного уравнения Шре-
дингера в виде
ψ(r) = R(r)Y
lm
(θ, ϕ).
Подставляя его в уравнение, получаем
−
~
2
2m
Ã
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
−
ˆ
l
2
r
2
!
R(r)Y
lm
(θ, ϕ) +
+ U(r)R(r)Y
lm
(θ, ϕ) = ER(r)Y
lm
(θ, ϕ).
Поскольку
ˆ
l
2
Y
lm
(θ, ϕ) = l(l + 1)Y
lm
(θ, ϕ),
то, сокращая Y
lm
(θ, ϕ), находим уравнение для радиальной функ-
ции:
−
~
2
2m
µ
1
r
2
d
dr
µ
r
2
d
dr
−
l(l + 1)
r
2
R(r) + U(r)R(r) = ER(r).
Небольшая перегруппировка дает:
−
~
2
2m
1
r
2
d
dr
µ
r
2
d
dr
R(r) + U
эфф
(r)R(r) = ER(r),
44
Можно показать, что
                           µ                     ¶1/2
                               2l + 1 (l − m)!
                   Clm =                                .
                                 4π (l + m)!
Сферические гармоники с отрицательными m = −1, −2 . . . − l по
определению принимают равными

                   Ylm (θ, ϕ) = (−1)m Yl∗−m (θ, ϕ).

Сферические гармоники образуют полный ортонормированный ба-
зис на сфере (0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π):
                ZZ
                     ∗
                   Ylm (θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ)dΩ = δll0 δmm0 .


   Радиальное уравнение Шредингера

   Вернемся теперь к задаче о нахождении ψ-функции частицы в
центральном поле. Ищем решение стационарного уравнения Шре-
дингера в виде
                     ψ(r) = R(r)Ylm (θ, ϕ).
Подставляя его в уравнение, получаем
                Ã      µ       ¶       !
             ~2    1 ∂     2 ∂     l̂2
          −              r       − 2 R(r)Ylm (θ, ϕ) +
            2m r2 ∂r        ∂r    r

            + U (r)R(r)Ylm (θ, ϕ) = ER(r)Ylm (θ, ϕ).
Поскольку
                  lˆ2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ),
то, сокращая Ylm (θ, ϕ), находим уравнение для радиальной функ-
ции:
          µ      µ       ¶            ¶
       ~2   1 d      2 d     l(l + 1)
     −             r       −            R(r) + U (r)R(r) = ER(r).
       2m r2 dr       dr        r2
   Небольшая перегруппировка дает:
                    µ       ¶
           ~2 1 d       2 d
         −            r       R(r) + Uэфф (r)R(r) = ER(r),
           2m r2 dr      dr
                                   44

Страницы