Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лапласиан в сферических координатах выглядит следующим обра-
зом
∆
r, θ, ϕ
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
+
∆
θ, ϕ
r
2
,
поэтому оператор Гамильтона можно записать так:
ˆ
H = −
~
2
2m
Ã
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
−
ˆ
l
2
r
2
!
+ U(r).
Сферические гармоники
Собственными функциями операторов
ˆ
l
2
и
ˆ
l
z
являются сфериче-
ские гармоники Y
lm
(θ, ϕ):
ˆ
l
2
Y
lm
(θ, ϕ) = λ(l)Y
lm
(θ, ϕ),
ˆ
l
z
Y
lm
(θ, ϕ) = mY
lm
(θ, ϕ).
Подставим в эти уравнения явные выражения для операторов в сфе-
рических координатах:
µ
−
1
sin θ
∂
∂θ
µ
sin θ
∂
∂θ
−
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
Y
lm
(θ, ϕ) = λ(l)Y
lm
(θ, ϕ),
−i
∂
∂ϕ
Y
lm
(θ, ϕ) = mY
lm
(θ, ϕ).
Решим эту систему дифференциальных уравнений методом раз-
деления переменных:
Y (θ, ϕ) = A(θ)B(ϕ).
Из второго уравнения получаем
−i
dB(ϕ)
dϕ
= mB(ϕ) ⇒ B(ϕ) = e
imϕ
.
При изменении угла ϕ на 2π мы возвращаемся в исходную точку про-
странства. Поскольку волновая функция должна быть однозначной,
то
B(ϕ + 2π) = B(ϕ),
41
Лапласиан в сферических координатах выглядит следующим обра-
зом                            µ      ¶
                           1 ∂    2 ∂    ∆θ, ϕ
                ∆r, θ, ϕ = 2    r       + 2 ,
                          r ∂r     ∂r     r
поэтому оператор Гамильтона можно записать так:
                      Ã      µ       ¶       !
                   ~2   1 ∂      2 ∂     l̂2
            Ĥ = −             r       − 2 + U (r).
                   2m r2 ∂r       ∂r    r


   Сферические гармоники

   Собственными функциями операторов l̂2 и ˆlz являются сфериче-
ские гармоники Ylm (θ, ϕ):

                      l̂2 Ylm (θ, ϕ) = λ(l)Ylm (θ, ϕ),

                      ˆlz Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).

Подставим в эти уравнения явные выражения для операторов в сфе-
рических координатах:
  µ            µ         ¶              ¶
        1 ∂           ∂        1 ∂2
 
    −           sin θ      −              Ylm (θ, ϕ) = λ(l)Ylm (θ, ϕ),
      sin θ ∂θ        ∂θ     sin2 θ ∂ϕ2
 
 
  −i ∂ Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).
 
     ∂ϕ
   Решим эту систему дифференциальных уравнений методом раз-
деления переменных:

                          Y (θ, ϕ) = A(θ)B(ϕ).

Из второго уравнения получаем
                    dB(ϕ)
               −i         = mB(ϕ)        ⇒    B(ϕ) = eimϕ .
                     dϕ
При изменении угла ϕ на 2π мы возвращаемся в исходную точку про-
странства. Поскольку волновая функция должна быть однозначной,
то
                       B(ϕ + 2π) = B(ϕ),
                                    41

Страницы