Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Подставляя ψ
00
в асимптотическое уравнение, находим: 4α
2
= 1 или
α =
1
2
. Следовательно в асимптотике волновая функция выглядит
так:
ψ(ξ) = Cξ
n
e
−ξ
2
/2
.
Теперь возвращаемся к обезразмеренному уравнению. Ищем его
решение в виде
ψ(ξ) = f(ξ)e
−ξ
2
/2
.
Тогда
ψ
0
= f
0
e
−ξ
2
/2
− ξfe
−ξ
2
/2
,
ψ
00
= f
00
e
−ξ
2
/2
− 2ξf
0
e
−ξ
2
/2
− fe
−ξ
2
/2
+ ξ
2
fe
−ξ
2
/2
.
Подставляя эти функции в уравнение и сокращая e
−ξ
2
/2
, получаем
−f
00
+ 2ξf
0
+ f −ξ
2
f + ξ
2
f = 2εf,
f
00
(ξ) − 2ξf
0
(ξ) + (2ε − 1)f(ξ) = 0.
Предположим, что f(ξ) представляет собой ряд: f(ξ) =
∞
X
k=0
a
k
ξ
k
.
Тогда
f
0
=
X
k=0
a
k
kξ
k−1
, ξf
0
=
X
k=0
a
k
kξ
k
,
f
00
=
X
k=0
a
k
(k −1)k ξ
k−2
=
X
k=0
a
k+2
(k + 1)(k + 2)ξ
k
.
Подстановка этих производных в уравнение дает:
X
k=0
a
k+2
(k + 1)(k + 2)ξ
k
− 2
X
k=0
a
k
kξ
k
+ (2ε − 1)
X
k=0
a
k
ξ
k
= 0,
или
X
k=0
((k + 1)(k + 2)a
k+2
− 2ka
k
+ (2ε − 1)a
k
) ξ
k
= 0.
Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ξ
есть ноль. Отсюда получаем рекурентные соотношения для коэф-
фициентов a
k
:
a
k+2
= a
k
2k −(2ε − 1)
(k + 1)(k + 2)
.
36
Подставляя ψ 00 в асимптотическое уравнение, находим: 4α2 = 1 или
     1
α = . Следовательно в асимптотике волновая функция выглядит
     2
так:                                    2
                         ψ(ξ) = Cξ n e−ξ /2 .
   Теперь возвращаемся к обезразмеренному уравнению. Ищем его
решение в виде
                                      2
                       ψ(ξ) = f (ξ)e−ξ /2 .
Тогда
                             2                    2
            ψ 0 = f 0 e−ξ        /2
                                      − ξf e−ξ        /2
                                                           ,
                                 2                         2                  2                      2
            ψ 00 = f 00 e−ξ          /2
                                          − 2ξf 0 e−ξ          /2
                                                                    − f e−ξ       /2
                                                                                       + ξ 2 f e−ξ       /2
                                                                                                              .
                                                                                                2
Подставляя эти функции в уравнение и сокращая e−ξ                                                   /2
                                                                                                         , получаем
                             00               0                 2        2
                         −f + 2ξf + f − ξ f + ξ f = 2εf,

                         f 00 (ξ) − 2ξf 0 (ξ) + (2ε − 1)f (ξ) = 0.
                                                                                                                  ∞
                                                                                                                  X
   Предположим, что f (ξ) представляет собой ряд: f (ξ) =                                                               ak ξ k .
                                                                                                                  k=0
Тогда
                                     X                                   X
                       f0 =                ak kξ k−1 ,          ξf 0 =             ak kξ k ,
                                  k=0                                    k=0
                     X                                          X
            f 00 =         ak (k − 1)k ξ k−2 =                        ak+2 (k + 1)(k + 2)ξ k .
                     k=0                                        k=0

Подстановка этих производных в уравнение дает:
   X                              X                    X
       ak+2 (k + 1)(k + 2)ξ k − 2   ak kξ k + (2ε − 1)   ak ξ k = 0,
      k=0                                             k=0                                    k=0
или         X
                  ((k + 1)(k + 2)ak+2 − 2kak + (2ε − 1)ak ) ξ k = 0.
            k=0
Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ξ
есть ноль. Отсюда получаем рекурентные соотношения для коэф-
фициентов ak :
                              2k − (2ε − 1)
                    ak+2 = ak                .
                              (k + 1)(k + 2)
                                                       36

Страницы