Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Плотность тока вероятности
Найдем теперь явный вид плотности тока вероятности в трехмер-
ном координатном пространстве. Оператор Гамильтона имеет вид
ˆ
H =
ˆ
p
2
2m
+ U(r) = −
~
2
2m
∆ + U(r).
Уравнение Шредингера (для волновой функции Ψ) и комплексно
сопряженное уравнение Шредингера (для функции Ψ
∗
) выглядят
следующим образом:
i~
∂Ψ(r, t)
∂t
= −
~
2
2m
∆Ψ(r, t) + U(r)Ψ(r, t),
−i~
∂Ψ
∗
(r, t)
∂t
= −
~
2
2m
∆Ψ
∗
(r, t) + U(r)Ψ
∗
(r, t).
Домножим первое уравнение на Ψ
∗
, а второе – на Ψ. Тогда, вычитая
из первого уравнения второе, находим:
i~
µ
Ψ
∗
∂Ψ
dt
+ Ψ
∂Ψ
∗
dt
= −
~
2
2m
(Ψ
∗
∆Ψ − Ψ∆Ψ
∗
),
или
i~
∂
∂t
|Ψ(r, t)|
2
= −
~
2
2m
∇(Ψ
∗
∇Ψ − Ψ∇Ψ
∗
).
Пусть ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|
2
– плотность вероятности. Тогда полученное
соотношение принимает вид уравнения непрерывности
∂ρ
∂t
+ divj = 0,
где
j =
~
2mi
(Ψ
∗
∇Ψ − Ψ∇Ψ
∗
)
есть плотность тока вероятности.
Линейный осциллятор
Гамильтониан линейного осциллятора имеет вид
ˆ
H =
ˆp
2
2m
+
mω
2
x
2
2
= −
~
2
2m
d
2
dx
2
+
mω
2
x
2
2
.
34
      Плотность тока вероятности

   Найдем теперь явный вид плотности тока вероятности в трехмер-
ном координатном пространстве. Оператор Гамильтона имеет вид

                              p̂2             ~2
                       Ĥ =       + U (r) = −    ∆ + U (r).
                              2m              2m
Уравнение Шредингера (для волновой функции Ψ) и комплексно
сопряженное уравнение Шредингера (для функции Ψ∗ ) выглядят
следующим образом:

                  ∂Ψ(r, t)    ~2
             i~            =−    ∆Ψ(r, t) + U (r)Ψ(r, t),
                    ∂t        2m

                   ∂Ψ∗ (r, t)    ~2
             −i~              =−    ∆Ψ∗ (r, t) + U (r)Ψ∗ (r, t).
                     ∂t          2m
Домножим первое уравнение на Ψ∗ , а второе – на Ψ. Тогда, вычитая
из первого уравнения второе, находим:
             µ               ¶
                ∗ ∂Ψ    ∂Ψ∗        ~2
           i~ Ψ      +Ψ        =−     (Ψ∗ ∆Ψ − Ψ∆Ψ∗ ),
                  dt     dt        2m
или
                 ∂                 ~2
                  i~|Ψ(r, t)|2 = −    ∇(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).
                 ∂t                2m
Пусть ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 – плотность вероятности. Тогда полученное
соотношение принимает вид уравнения непрерывности
                                  ∂ρ
                                     + divj = 0,
                                  ∂t
где
                          ~
                           j=(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ )
                         2mi
есть плотность тока вероятности.

      Линейный осциллятор

      Гамильтониан линейного осциллятора имеет вид

                         p̂2   mω 2 x2    ~2 d2    mω 2 x2
                  Ĥ =       +         =−        +         .
                         2m      2        2m dx2     2
                                        34

Страницы